Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.54) (x^{3} y^{2}-y) d x+(x^{2} y^{4}-x) d y=0
(5.54) (x^{3} y^{2}-y) d x+(x^{2} y^{4}-x) d y=0
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um fator integrante apropriado para a equação diferencial
Dados relevantes extraídos do enunciado:
O objetivo é achar uma função
tal que a equação multiplicada por
seja exata, isto é, que satisfaça
.
Passo 2
Primeiro verificamos se a equação já é exata, calculando as derivadas parciais:
Como
e
não são iguais em geral, a equação não é exata e precisamos de um fator integrante
.
Passo 3
Uma técnica prática é tentar um fator integrante do tipo potência separável
onde
e
são constantes a determinar. Vamos impor a condição de exatidão para
e
. Calculamos primeiro
e
:
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos as derivadas:
Igualando e dividindo ambos os lados por
(assumindo
,
no domínio que nos interessa) obtemos a identidade
Reescrevendo:
Para que essa identidade valha para todos
(ou seja, como polinômio em
seja identicamente zero), os coeficientes dos monômios independentes devem ser zero. Assim exigimos:
Passo 5
Resolvendo o sistema acima obtemos
Logo um fator integrante candidato é
Passo 6
Verificação rápida (para termos certeza): multiplicando a equação original por
obtemos
Calculando as derivadas:
que são iguais, confirmando que a equação multiplicada por
é exata. Portanto
é um fator integrante adequado.