Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.54) (x^{3} y^{2}-y) d x+(x^{2} y^{4}-x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um fator integrante apropriado para a equação diferencial
\bigl(x^{3}y^{2}-y\bigr)\,dx+\bigl(x^{2}y^{4}-x\bigr)\,dy=0.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
M(x,y)=x^{3}y^{2}-y
N(x,y)=x^{2}y^{4}-x.
O objetivo é achar uma função \mu(x,y) tal que a equação multiplicada por \mu seja exata, isto é, que satisfaça \partial_y(\mu M)=\partial_x(\mu N).

Passo 2

Primeiro verificamos se a equação já é exata, calculando as derivadas parciais:
\partial_y M=\partial_y\bigl(x^{3}y^{2}-y\bigr)=2x^{3}y-1,
\partial_x N=\partial_x\bigl(x^{2}y^{4}-x\bigr)=2xy^{4}-1.
Como \partial_y M=2x^{3}y-1 e \partial_x N=2xy^{4}-1 não são iguais em geral, a equação não é exata e precisamos de um fator integrante \mu.

Passo 3

Uma técnica prática é tentar um fator integrante do tipo potência separável
\mu(x,y)=x^{a}y^{b},
onde a e b são constantes a determinar. Vamos impor a condição de exatidão para \mu M e \mu N. Calculamos primeiro \mu M e \mu N:
\mu M = x^{a}y^{b}\bigl(x^{3}y^{2}-y\bigr)=x^{a+3}y^{b+2}-x^{a}y^{b+1},
\mu N = x^{a}y^{b}\bigl(x^{2}y^{4}-x\bigr)=x^{a+2}y^{b+4}-x^{a+1}y^{b}.

Passo 4

Agora impomos \partial_y(\mu M)=\partial_x(\mu N). Calculamos as derivadas:
\partial_y(\mu M)=(b+2)x^{a+3}y^{b+1}-(b+1)x^{a}y^{b},
\partial_x(\mu N)=(a+2)x^{a+1}y^{b+4}-(a+1)x^{a}y^{b}.
Igualando e dividindo ambos os lados por x^{a}y^{b} (assumindo x\neq0, y\neq0 no domínio que nos interessa) obtemos a identidade
(b+2)x^{3}y-(b+1)=(a+2)xy^{4}-(a+1).
Reescrevendo:
(b+2)x^{3}y-(a+2)xy^{4}+(a-b)=0.
Para que essa identidade valha para todos x,y (ou seja, como polinômio em x,y seja identicamente zero), os coeficientes dos monômios independentes devem ser zero. Assim exigimos:
b+2=0,\qquad a+2=0,\qquad a-b=0.

Passo 5

Resolvendo o sistema acima obtemos
a=-2,\qquad b=-2.
Logo um fator integrante candidato é
\mu(x,y)=x^{-2}y^{-2}=\frac{1}{x^{2}y^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida (para termos certeza): multiplicando a equação original por \mu obtemos
\tilde M=\mu M = x - x^{-2}y^{-1},
\tilde N=\mu N = y^{2} - x^{-1}y^{-2}.
Calculando as derivadas:
\partial_y\tilde M = x^{-2}y^{-2},
\partial_x\tilde N = x^{-2}y^{-2},
que são iguais, confirmando que a equação multiplicada por \mu é exata. Portanto \mu=\dfrac{1}{x^{2}y^{2}} é um fator integrante adequado.

Resposta

\displaystyle \mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}y^{2}}

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