Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.55) 3 x^{2} y^{2} d x+(2 x^{3} y+x^{3} y^{4}) d y=0
(5.55) 3 x^{2} y^{2} d x+(2 x^{3} y+x^{3} y^{4}) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar um fator integrante apropriado.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
(coeficiente de
) e
(coeficiente de
).
O objetivo concreto aqui é encontrar uma função (dependendo só de
ou só de
, ou outra forma simples) tal que
seja uma forma exata.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O objetivo concreto aqui é encontrar uma função
Passo 2
Vou revisar o conceito que precisamos usar: uma equação diferencial na forma
é exata quando
Se não for exata, às vezes existe um fator integrante
que depende só de
ou só de
e transforma a equação em exata. Para
vale a condição
que deve ser função só de
. Para
a condição análoga é
que deve ser função só de
. Vou primeiro checar se a equação já é exata.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais necessárias:
Como
e
, elas não são iguais, logo a equação não é exata.
Passo 4
Vou tentar encontrar um fator integrante que dependa só de
. Para isso calculo a expressão
Substituindo os valores já calculados:
O resultado é
, que depende só de
. Portanto existe um fator integrante
que é função apenas de
.
Passo 5
Da relação para
temos
Isto é uma equação diferencial simples para
. Integro ambos os lados em
:
Posso escolher a constante aditiva
porque fatores integrantes multiplicados por constantes não alteram a exatidão essencial. Assim
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): multiplico
e
por
. Definindo
e
,
Calculo as derivadas parciais:
pois
. E
As duas derivadas são iguais, confirmando que a multiplicação por
torna a forma exata.