Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.55) 3 x^{2} y^{2} d x+(2 x^{3} y+x^{3} y^{4}) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3 x^{2} y^{2}\,dx + \bigl(2 x^{3} y + x^{3} y^{4}\bigr)\,dy = 0
e pede para determinar um fator integrante apropriado.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;M(x,y)=3 x^{2} y^{2} (coeficiente de dx) e \;N(x,y)=2 x^{3} y + x^{3} y^{4}=x^{3}(2y+y^{4}) (coeficiente de dy).
O objetivo concreto aqui é encontrar uma função \mu (dependendo só de x ou só de y, ou outra forma simples) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja uma forma exata.

Passo 2

Vou revisar o conceito que precisamos usar: uma equação diferencial na forma \;M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se não for exata, às vezes existe um fator integrante \mu que depende só de x ou só de y e transforma a equação em exata. Para \mu=\mu(y) vale a condição
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M},
que deve ser função só de y. Para \mu=\mu(x) a condição análoga é
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N},
que deve ser função só de x. Vou primeiro checar se a equação já é exata.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3 x^{2} y^{2}\bigr)=3 x^{2}\cdot 2y=6 x^{2} y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}(2y+y^{4})\bigr)=3 x^{2}(2y+y^{4})=6 x^{2} y+3 x^{2} y^{4}.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=6 x^{2} y e \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^{2} y+3 x^{2} y^{4}, elas não são iguais, logo a equação não é exata.

Passo 4

Vou tentar encontrar um fator integrante que dependa só de y. Para isso calculo a expressão
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}.
Substituindo os valores já calculados:
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}=\frac{(6 x^{2} y+3 x^{2} y^{4})-(6 x^{2} y)}{3 x^{2} y^{2}}=\frac{3 x^{2} y^{4}}{3 x^{2} y^{2}}=y^{2}.
O resultado é \;y^{2}, que depende só de y. Portanto existe um fator integrante \mu que é função apenas de y.

Passo 5

Da relação para \mu=\mu(y) temos
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=y^{2}.
Isto é uma equação diferencial simples para \mu. Integro ambos os lados em y:
\ln \mu=\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}+C.
Posso escolher a constante aditiva C=0 porque fatores integrantes multiplicados por constantes não alteram a exatidão essencial. Assim
\ln \mu=\frac{y^{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad \mu(y)=e^{\,y^{3}/3}.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): multiplico M e N por \mu(y)=e^{y^{3}/3}. Definindo \tilde M=\mu M e \tilde N=\mu N,
\tilde M=3 x^{2} y^{2} e^{y^{3}/3},\qquad \tilde N=x^{3}(2y+y^{4}) e^{y^{3}/3}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} =3 x^{2}\frac{d}{dy}\bigl(y^{2} e^{y^{3}/3}\bigr) =3 x^{2}e^{y^{3}/3}\bigl(2y+y^{4}\bigr),
pois \frac{d}{dy}e^{y^{3}/3}=y^{2}e^{y^{3}/3}. E
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=e^{y^{3}/3}\cdot 3 x^{2}(2y+y^{4}).
As duas derivadas são iguais, confirmando que a multiplicação por \mu(y)=e^{y^{3}/3} torna a forma exata.

Resposta

\mu(y)=e^{y^{3}/3}

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