Questão 8) Sabendo que se f(x)=m x+b é uma função linear, então a taxa de variação média ao longo de qualquer intervalo e a taxa de variação instantânea em qualquer ponto são iguais à inclinação m. Considere que uma bola cai do alto de um prédio, a 300 metros de altura, chegando ao solo 15 segundos depois. Considere também que a equação que rege o movimento é uma reta (isso é apenas para facilitar os cálculos, pois a equação real é uma parábola).
a. Faça um esboço da reta posição (eixo y ) versus tempo (eixo x ).
b. Encontre a taxa de variação da posição.
c. A que grandeza conhecida (tente identificar pelas unidades) essa taxa de variação se refere?

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem confundir nada.
  • Dados fornecidos:
    • A bola parte do alto do prédio com altura 300 metros, isto é, a posição inicial é f(0)=300.
    • A bola chega ao solo 15 segundos depois, isto é, f(15)=0.
    • O enunciado pede que a equação que relaciona posição e tempo seja uma reta; portanto podemos modelar por uma função linear.
  • Perguntas do enunciado:
    a. Fazer um esboço da reta posição (eixo y) versus tempo (eixo x).
    b. Encontrar a taxa de variação da posição.
    c. Identificar a que grandeza física essa taxa de variação corresponde (por unidade e significado).

Passo 2

Montando o modelo linear: toda função linear pode ser escrita como
f(t)=m t + b,
onde:
  • t é o tempo em segundos (eixo x);
  • f(t) é a posição (altura) em metros acima do solo (eixo y);
  • m é a inclinação (a taxa de variação da posição em relação ao tempo);
  • b é o valor de f em t=0 (intercepto em y).
Aqui sabemos dois pontos da reta: (t,f)=(0,300) e (15,0). Esses pontos vão permitir determinar m e b.

Passo 3

Determinar b usando o ponto inicial. Como f(0)=300, substituindo em f(t)=mt+b temos
f(0)=m\cdot 0 + b = b.
Portanto
b=300.

Passo 4

Agora vamos encontrar m. Uma forma direta é usar a definição da inclinação (coeficiente angular) entre dois pontos: se temos dois instantes t_1 e t_2 com posições f(t_1) e f(t_2), a inclinação é o quociente de variações
m=\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}.
Isto é a fórmula do "delta y sobre delta x" — em palavras: “quanto muda a posição quando o tempo aumenta em uma unidade”.
Aplicando com os pontos dados t_1=0, f(t_1)=300 e t_2=15, f(t_2)=0:
m=\frac{0-300}{15-0}=\frac{-300}{15}.
Agora simplificamos:
m=-\;20.

Passo 5

Escrevendo a função final e interpretando o que isso significa numericamente:
f(t)=-20\,t + 300.
Interpretação concreta:
  • O intercepto b=300 significa que no instante t=0 a altura é 300 m.
  • A inclinação m=-20 significa que a cada aumento de 1 segundo a altura diminui |-20|=20 metros. O sinal negativo indica que a posição está decrescendo (a bola vai para baixo).

Passo 6

Esboço da reta (como desenhar na prova): desenhe dois eixos com o eixo horizontal sendo t (segundos) e o vertical sendo f(t) (metros). Marque o ponto (0,300) no eixo vertical e o ponto (15,0) sobre o eixo horizontal; trace a reta que liga esses dois pontos, ela desce linearmente. Uma descrição curta do esboço: reta decrescente que passa por (0,300) e (15,0).

Passo 7

Identificação física da taxa de variação: a taxa de variação da posição em relação ao tempo tem unidades de metros por segundo, isto é \mathrm{m/s}. Essa grandeza é precisamente a velocidade (no caso unidimensional, a velocidade vertical). Como o modelo é linear, a velocidade média sobre qualquer intervalo e a velocidade instantânea em qualquer instante coincidem e valem
v=m=-20\\ \mathrm{m/s}.
O valor negativo indica direção para baixo; a rapidez (speed) é |v|=20\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) Esboço: reta decrescente ligando os pontos (0,300) e (15,0) (altura no eixo y, tempo no eixo x).
b) Taxa de variação da posição: m=-20\\ \mathrm{m/s}.
c) Grandeza: é a velocidade vertical; unidades \mathrm{m/s} (velocidade para baixo de magnitude 20\\ \mathrm{m/s}).

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