Questão 8) Sabendo que se
é uma função linear, então a taxa de variação média ao longo de qualquer intervalo e a taxa de variação instantânea em qualquer ponto são iguais à inclinação
. Considere que uma bola cai do alto de um prédio, a 300 metros de altura, chegando ao solo 15 segundos depois. Considere também que a equação que rege o movimento é uma reta (isso é apenas para facilitar os cálculos, pois a equação real é uma parábola).
a. Faça um esboço da reta posição (eixo
) versus tempo (eixo
).
b. Encontre a taxa de variação da posição.
c. A que grandeza conhecida (tente identificar pelas unidades) essa taxa de variação se refere?
a. Faça um esboço da reta posição (eixo
b. Encontre a taxa de variação da posição.
c. A que grandeza conhecida (tente identificar pelas unidades) essa taxa de variação se refere?
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem confundir nada.
-
Dados fornecidos:
- A bola parte do alto do prédio com altura
metros, isto é, a posição inicial é . - A bola chega ao solo
segundos depois, isto é, . - O enunciado pede que a equação que relaciona posição e tempo seja uma reta; portanto podemos modelar por uma função linear.
- A bola parte do alto do prédio com altura
-
Perguntas do enunciado:
a. Fazer um esboço da reta posição (eixo) versus tempo (eixo ).
b. Encontrar a taxa de variação da posição.
c. Identificar a que grandeza física essa taxa de variação corresponde (por unidade e significado).
Passo 2
Montando o modelo linear: toda função linear pode ser escrita como
onde:
-
é o tempo em segundos (eixo ); -
é a posição (altura) em metros acima do solo (eixo ); -
é a inclinação (a taxa de variação da posição em relação ao tempo); -
é o valor de em (intercepto em ).
Aqui sabemos dois pontos da reta:
e
. Esses pontos vão permitir determinar
e
.
Passo 3
Determinar
usando o ponto inicial. Como
, substituindo em
temos
Portanto
Passo 4
Agora vamos encontrar
. Uma forma direta é usar a definição da inclinação (coeficiente angular) entre dois pontos: se temos dois instantes
e
com posições
e
, a inclinação é o quociente de variações
Isto é a fórmula do "delta
sobre delta
" — em palavras: “quanto muda a posição quando o tempo aumenta em uma unidade”.
Aplicando com os pontos dados
,
e
,
:
Agora simplificamos:
Passo 5
Escrevendo a função final e interpretando o que isso significa numericamente:
Interpretação concreta:
- O intercepto
significa que no instante a altura é m. - A inclinação
significa que a cada aumento de segundo a altura diminui metros. O sinal negativo indica que a posição está decrescendo (a bola vai para baixo).
Passo 6
Esboço da reta (como desenhar na prova): desenhe dois eixos com o eixo horizontal sendo
(segundos) e o vertical sendo
(metros). Marque o ponto
no eixo vertical e o ponto
sobre o eixo horizontal; trace a reta que liga esses dois pontos, ela desce linearmente. Uma descrição curta do esboço: reta decrescente que passa por
e
.
Passo 7
Identificação física da taxa de variação: a taxa de variação da posição em relação ao tempo tem unidades de metros por segundo, isto é
. Essa grandeza é precisamente a velocidade (no caso unidimensional, a velocidade vertical). Como o modelo é linear, a velocidade média sobre qualquer intervalo e a velocidade instantânea em qualquer instante coincidem e valem
O valor negativo indica direção para baixo; a rapidez (speed) é
.
Resposta
a) Esboço: reta decrescente ligando os pontos
e
(altura no eixo
, tempo no eixo
).
b) Taxa de variação da posição: .
c) Grandeza: é a velocidade vertical; unidades (velocidade para baixo de magnitude
).
b) Taxa de variação da posição:
c) Grandeza: é a velocidade vertical; unidades