Calcule o valor do limite apenas realizando uma substituição direta:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x^{2}-2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede: calcular
\lim_{x \to -1} \frac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3}.
Informações dadas:
  • A função a ser analisada é a razão \dfrac{2x^{2}+3x+1}{x^{2}-2x-3}.
  • O ponto de aproximação é x \to -1.
  • O pedido explícito é: realizar apenas uma substituição direta.

Passo 2

O que significa “substituição direta” e quando ela vale?
Se \,f(x) e \,g(x) são funções contínuas em x=a e g(a)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
Aqui \,f(x) é o numerador 2x^{2}+3x+1 e \,g(x) é o denominador x^{2}-2x-3. A ideia da substituição direta é simplesmente calcular f(a) e g(a) e formar a razão f(a)/g(a), desde que g(a)\neq 0. Se g(a)=0 e f(a)=0 obtemos a forma indeterminada 0/0 e a substituição direta não permite concluir o valor do limite.

Passo 3

Vamos aplicar a substituição direta calculando o numerador em x=-1:
2(-1)^{2}+3(-1)+1 = 2\cdot 1 -3 +1 = 2-3+1 = 0.

Passo 4

Agora o denominador em x=-1:
(-1)^{2}-2(-1)-3 = 1 +2 -3 = 0.

Passo 5

Ao substituir diretamente obtemos \dfrac{0}{0}. Isso é a forma indeterminada 0/0. Explicando de forma simples: a expressão \dfrac{0}{0} não tem um valor definido — pode esconder diferentes comportamentos da função quando x se aproxima de -1 (por exemplo, pode tender a um número finito, a \pm\infty ou não existir). Por isso, quando aparece 0/0, não se pode determinar o limite apenas por substituição direta; é necessário usar outro método (fatoração, simplificação, regra de L’Hôpital, desenvolvimento em série etc.). Entretanto o enunciado pediu apenas substituição direta, então a conclusão a partir dessa operação tem que ser feita.

Resposta

Não é possível determinar o limite por substituição direta, pois a substituição produz a forma indeterminada 0/0.

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