Verifique quais das funções abaixo são funções afins e classifique-as em afim, constante ou linear.
f: R \rightarrow R tal que f(x)=-7 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função dada é uma função afim e classificá-la como afim, constante ou linear. A função fornecida é
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que f(x)=-7x.

Passo 2

Definições (explicadas devagarinho):
  • Uma função afim é qualquer função que pode ser escrita na forma \,f(x)=ax+b\,, onde a e b são números reais. Aqui:
    • a é o coeficiente angular (a “inclinação” da reta),
    • b é o termo constante (o valor onde a reta corta o eixo y).
  • Uma função linear, no sentido elementar usado em cálculos e provas, é um caso particular de função afim em que o termo constante é zero; ou seja \,f(x)=ax\, (a reta passa pela origem).
  • Uma função constante é o caso em que o coeficiente angular é zero, isto é \,f(x)=b com b fixo; a imagem é sempre o mesmo número.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \,g(x)=3x+1\, é afim, não linear, não constante.
  • \,h(x)=4x\, é afim e também linear (porque o termo constante é zero).
  • \,c(x)=5\, é constante (e também é afim, com a=0, mas normalmente chamamos de constante).

Passo 3

Comparando a função dada com a forma geral \,f(x)=ax+b\,:
  • Da expressão \,f(x)=-7x\, observamos (pegando o dado do enunciado) que \,a=-7 e \,b=0.

Passo 4

Conclusões com checagens:
  • Como \,b=0, a função está na forma \,f(x)=ax\,; portanto é um caso particular de função afim. Logo, é afim.
  • Como \,b=0, também satisfaz a definição de função linear. Podemos verificar as propriedades de linearidade:
    • \,f(x+y)=-7(x+y)=-7x-7y=f(x)+f(y).
    • \,f(kx)=-7(kx)=k(-7x)=k\,f(x) para todo k\in\mathbb{R}.
      Essas igualdades confirmam que a aplicação é linear (no sentido de transformação linear).
  • Não é constante, pois por exemplo \,f(0)=0 e \,f(1)=-7, valores diferentes.

Resposta

Afim e linear (não constante).

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