Verifique quais das funções abaixo são funções afins e classifique-as em afim, constante ou linear.
f: R \rightarrow R tal que f(x)=x

Passo 1

O enunciado dá uma única função e pede para verificar se ela é função afim e classificá-la (afim, constante ou linear). Informações fornecidas:
  • Domínio e contradomínio: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}.
  • Regra da função: f(x)=x.
O que é pedido:
  • Verificar se f é uma função afim.
  • Classificar f como afim, constante ou linear (apenas uma dessas opções ou mais de uma, se couber).

Passo 2

Vamos lembrar direitinho o que significam essas palavras (explicação bem prática, passo a passo).
Definição de função afim:
\text{Uma função } f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ \text{é afim se pode ser escrita como } f(x)=ax+b,çãé
onde a e b são números reais. Aqui:
  • a é o coeficiente angular (a “inclinação” da reta).
  • b é o coeficiente linear (o ponto onde a reta cruza o eixo y, isto é, f(0)=b).
Casos especiais importantes:
  • Função linear (no sentido de funções reais de uma variável): é o caso afim com b=0, ou seja,
f(x)=ax.
Essa função passa pela origem e satisfaz f(0)=0, f(x+y)=f(x)+f(y) e f(\lambda x)=\lambda f(x).
  • Função constante: é o caso afim com a=0 e b\neq0, ou seja,
f(x)=b\quad (\text{com }b\text{ fixo}).
Nesse caso f não depende de x.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \,g(x)=2x+3 é afim (aqui a=2, b=3), não é linear nem constante.
  • \,h(x)=5 é afim e constante (aqui a=0, b=5), não é linear.
  • \,k(x)=2x é afim e linear (aqui a=2, b=0), não é constante.

Passo 3

Compare a função dada com a forma geral afim f(x)=ax+b.
A função do enunciado é
f(x)=x.
Isto pode ser reescrito como
f(x)=1\cdot x+0.
Logo, identificamos a=1 e b=0.

Passo 4

Com a=1 e b=0 temos que f está na forma afim f(x)=ax+b. Portanto f é afim.
Além disso, como b=0, f pertence ao caso especial linear (já que funções lineares são exatamente as afins com b=0). Para confirmar a linearidade também via propriedades: para quaisquer x,y\in\mathbb{R} e \lambda\in\mathbb{R},
f(x+y)=x+y=f(x)+f(y),
f(\lambda x)=\lambda x=\lambda f(x),
e f(0)=0. Então f satisfaz as propriedades de uma função linear.
Por outro lado, f não é constante, pois não existe um valor fixo b tal que f(x)=b para todo x (a função varia com x).

Passo 5

Resumo final da classificação com justificativa curta:
  • f é afim porque pode ser escrita como f(x)=ax+b com a=1, b=0.
  • f é linear porque b=0 e satisfaz as propriedades de linearidade.
  • f não é constante porque depende de x.

Resposta

Afim e linear.

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