Verifique quais das funções abaixo são funções afins e classifique-as em afim, constante ou linear.
f: R \rightarrow R tal que f(x)=2

Passo 1

O enunciado dá uma única função e pede que a verifiquemos e a classifiquemos. As informações são:
  • Função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=2 para todo x\in\mathbb{R}.
    O que se pede:
  • Verificar se essa função é uma função afim.
  • Classificá-la como afim, constante ou linear (cada uma das classificações é “sim” ou “não”).

Passo 2

Vamos lembrar do que cada termo quer dizer (com exemplos e explicação bem direta).
  • Uma função é dita afim quando pode ser escrita na forma
    f(x)=ax+b,
    onde a e b são números reais. Aqui a é o coeficiente angular (pendente) e b é o termo constante (intercepto).
  • Uma função é constante quando o valor de saída não depende de x; isto é, existe um c\in\mathbb{R} tal que f(x)=c para todo x.
  • Uma função é (no sentido usual de “linear” em cursos iniciais) linear quando pode ser escrita na forma
    f(x)=ax
    ou, equivalentemente, quando satisfaz a homogeneidade e aditividade:
f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\text{e}\quad f(\lambda x)=\lambda f(x)
para todos x,y e todo \lambda. Note que nesta definição uma função linear deve enviar 0 em 0: f(0)=0.

Passo 3

Aplicando a definição de função afim à função dada: podemos escrever
f(x)=2=0\cdot x + 2.
Aqui a=0 e b=2. Como a função pode ser escrita na forma ax+b com a,b\in\mathbb{R}, ela é uma função afim.

Passo 4

Mostrando que é constante: pela própria definição do enunciado, para quaisquer x_1,x_2\in\mathbb{R} tem-se
f(x_1)=2\quad\text{e}\quad f(x_2)=2,
portanto f(x_1)=f(x_2). Logo o valor de saída não depende de x: f é uma função constante (com constante 2).

Passo 5

Mostrando que não é linear (no sentido de transformar 0 em 0 e preservar soma/escala): uma função linear deveria satisfazer f(0)=0. No nosso caso
f(0)=2\neq 0,
logo f não é linear. Também se preferir ver pela aditividade, tome x=1 e y=1:
f(1+1)=f(2)=2,
enquanto
f(1)+f(1)=2+2=4,
portanto f(1+1)\neq f(1)+f(1), mostrando a violação da propriedade aditiva necessária para linearidade.

Passo 6

Recapitulando de forma bem prática (para decorar na prova):
  • Qualquer função da forma f(x)=ax+b é afim. Se a=0 ela é constante. Se b=0 ela é linear (no sentido de funções do tipo ax).
  • No caso f(x)=2 temos a=0 e b=2, então é afim e constante, mas não é linear (porque b\neq 0 e porque f(0)\neq 0).

Resposta

Afim: sim
Constante: sim
Linear: não

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