Verifique quais das funções abaixo são funções afins e classifique-as em afim, constante ou linear.
tal que
Passo 1
O enunciado dá uma única função e pede que a verifiquemos e a classifiquemos. As informações são:
- Função
definida por para todo .
O que se pede: - Verificar se essa função é uma função afim.
- Classificá-la como afim, constante ou linear (cada uma das classificações é “sim” ou “não”).
Passo 2
Vamos lembrar do que cada termo quer dizer (com exemplos e explicação bem direta).
- Uma função é dita afim quando pode ser escrita na forma
,
ondee são números reais. Aqui é o coeficiente angular (pendente) e é o termo constante (intercepto). - Uma função é constante quando o valor de saída não depende de
; isto é, existe um tal que para todo . - Uma função é (no sentido usual de “linear” em cursos iniciais) linear quando pode ser escrita na forma
ou, equivalentemente, quando satisfaz a homogeneidade e aditividade:
para todos
e todo
. Note que nesta definição uma função linear deve enviar
em
:
.
Passo 3
Aplicando a definição de função afim à função dada: podemos escrever
Aqui
e
. Como a função pode ser escrita na forma
com
, ela é uma função afim.
Passo 4
Mostrando que é constante: pela própria definição do enunciado, para quaisquer
tem-se
portanto
. Logo o valor de saída não depende de
:
é uma função constante (com constante
).
Passo 5
Mostrando que não é linear (no sentido de transformar
em
e preservar soma/escala): uma função linear deveria satisfazer
. No nosso caso
logo
não é linear. Também se preferir ver pela aditividade, tome
e
:
enquanto
portanto
, mostrando a violação da propriedade aditiva necessária para linearidade.
Passo 6
Recapitulando de forma bem prática (para decorar na prova):
- Qualquer função da forma
é afim. Se ela é constante. Se ela é linear (no sentido de funções do tipo ). - No caso
temos e , então é afim e constante, mas não é linear (porque e porque ).
Resposta
Afim: sim
Constante: sim
Linear: não
Constante: sim
Linear: não