Verifique quais das funções abaixo são funções afins e classifique-as em afim, constante ou linear.
f: R^{*} \rightarrow R tal que f(x)=\frac{2}{x}-4 x

Passo 1

O enunciado dá a função f: R^{*} \rightarrow R definida por
f(x)=\frac{2}{x}-4x,
onde R^{*} é o conjunto dos reais não nulos. O pedido é verificar se essa função é uma função afim e, em seguida, classificá-la em uma das categorias: afim, constante ou linear. Vou listar explicitamente o que cada termo significa (isso vai ajudar a decidir).

Passo 2

Definições (explicadas devagarinho):
  • Uma função é afim se pode ser escrita na forma
f(x)=ax+b,
onde a e b são constantes reais. Aqui a é a inclinação (coeficiente de x) e b é o termo constante (ordenada na origem).
  • Uma função é linear (no sentido que se usa em álgebra elementar) se é da forma
f(x)=ax,
ou seja, é uma afim com b=0. (Observação: em álgebra linear “linear” tem um significado mais rígido, mas aqui seguimos a noção usual de funções do 1º grau.)
  • Uma função é constante se existe c\in\mathbb{R} tal que
f(x)=c
para todo x no domínio.
Para provar que f NÃO é afim (ou é afim) convém tentar escrever f(x) no formato ax+b e verificar se isso é possível.

Passo 3

Tentativa direta: suponha que f seja afim, ou seja, que existam a,b\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in R^{*},
\frac{2}{x}-4x = ax + b.
Multiplico ambos os lados por x (vale porque x\neq0), obtendo
2 - 4x^{2} = ax^{2} + bx.
Reescrevo tudo num só polinômio igual a zero:
(-4 - a)x^{2} - b x + 2 = 0\qquad\text{para todo }x\in R^{*}.

Passo 4

Argumento sobre polinômios (fácil e muito usado em provas): se um polinômio de grau ≤2 é igual a zero para infinitos valores de x (por exemplo para todo x\in R^{*}), então todos os coeficientes desse polinômio devem ser zero. Portanto devemos ter simultaneamente:
-4 - a = 0,\qquad -b = 0,\qquad 2 = 0.
Das duas primeiras igualdades vem a=-4 e b=0. Mas a terceira igualdade 2=0 é impossível. Conclusão: não existe par (a,b) que satisfaça a identidade, logo f não pode ser escrita na forma ax+b. Portanto f NÃO é uma função afim.

Passo 5

Classificação por exclusão: verificar os casos especiais.
  • Se f fosse linear (da forma f(x)=ax), então seria também afim com b=0. Mas já provamos que não existe par (a,b) para representar f como afim, logo f não é linear.
  • Se f fosse constante (da forma f(x)=c), então ao multiplicar por x teríamos 2-4x^{2}=cx para todo x, o que implicaria novamente em um polinômio não-nulo igual a zero para infinitos x; assim também é impossível. Logo f não é constante.

Passo 6

Resumo intuitivo (pega leve): a presença do termo \dfrac{2}{x} faz com que a função não seja do tipo “reta” ax+b. Afimidade exige termos lineares em x e constantes; aqui há um termo que depende de 1/x, que é qualitativamente diferente. Por isso a função não pertence a nenhuma das três categorias pedidas.

Resposta

A função f(x)=\dfrac{2}{x}-4x não é função afim.
Não é linear.
Não é constante.

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