Verifique quais das funções abaixo são funções afins e classifique-as em afim, constante ou linear.
tal que
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
onde
é o conjunto dos reais não nulos. O pedido é verificar se essa função é uma função afim e, em seguida, classificá-la em uma das categorias: afim, constante ou linear. Vou listar explicitamente o que cada termo significa (isso vai ajudar a decidir).
Passo 2
Definições (explicadas devagarinho):
- Uma função é afim se pode ser escrita na forma
onde
e
são constantes reais. Aqui
é a inclinação (coeficiente de
) e
é o termo constante (ordenada na origem).
- Uma função é linear (no sentido que se usa em álgebra elementar) se é da forma
ou seja, é uma afim com
. (Observação: em álgebra linear “linear” tem um significado mais rígido, mas aqui seguimos a noção usual de funções do 1º grau.)
- Uma função é constante se existe
tal que
para todo
no domínio.
Para provar que
NÃO é afim (ou é afim) convém tentar escrever
no formato
e verificar se isso é possível.
Passo 3
Tentativa direta: suponha que
seja afim, ou seja, que existam
tais que, para todo
,
Multiplico ambos os lados por
(vale porque
), obtendo
Reescrevo tudo num só polinômio igual a zero:
Passo 4
Argumento sobre polinômios (fácil e muito usado em provas): se um polinômio de grau ≤2 é igual a zero para infinitos valores de
(por exemplo para todo
), então todos os coeficientes desse polinômio devem ser zero. Portanto devemos ter simultaneamente:
Das duas primeiras igualdades vem
e
. Mas a terceira igualdade
é impossível. Conclusão: não existe par
que satisfaça a identidade, logo
não pode ser escrita na forma
. Portanto
NÃO é uma função afim.
Passo 5
Classificação por exclusão: verificar os casos especiais.
- Se
fosse linear (da forma ), então seria também afim com . Mas já provamos que não existe par para representar como afim, logo não é linear. - Se
fosse constante (da forma ), então ao multiplicar por teríamos para todo , o que implicaria novamente em um polinômio não-nulo igual a zero para infinitos ; assim também é impossível. Logo não é constante.
Passo 6
Resumo intuitivo (pega leve): a presença do termo
faz com que a função não seja do tipo “reta”
. Afimidade exige termos lineares em
e constantes; aqui há um termo que depende de
, que é qualitativamente diferente. Por isso a função não pertence a nenhuma das três categorias pedidas.
Resposta
A função
não é função afim.
Não é linear.
Não é constante.
Não é linear.
Não é constante.