Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
T: M(2 \times 2) \longrightarrow \mathbb{R} dada por
T\left(\left(\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc} 2 a-b & c \\\ d & a \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a transformação T definida em M(2\times2) por
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2a-b & c \\[4pt] d & a\end{pmatrix}.
O enunciado escreve o contraditório T:M(2\times2)\longrightarrow\mathbb{R} (codomínio \mathbb{R}), mas a imagem mostrada é uma matriz 2\times2. Vou interpretar que o codomínio correto é M_{2\times2}(\mathbb{R}). A pergunta é: verificar se T é uma transformação linear (ou seja, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade para todos X,Y\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) e todo \lambda\in\mathbb{R}).]

Passo 2

Relembrando a definição prática que usaremos (passo-a-passo): T é linear se e somente se, para quaisquer X,Y\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R},
\text{(i)}\quad T(X+Y)=T(X)+T(Y) \qquad\text{e}\qquad \text{(ii)}\quad T(\lambda X)=\lambda\,T(X).
Vou verificar (i) e (ii) explicitamente calculando as entradas. Também, como verificação extra, posso checar que T(0)=0 (essa é consequência das duas propriedades).

Passo 3

Escolhemos matrizes genéricas
X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}a' & b' \\[4pt] c' & d'\end{pmatrix}.
A soma X+Y tem entradas somadas componente a componente:
X+Y=\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\[4pt] c+c' & d+d'\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculemos T(X+Y) aplicando a definição de T à matriz X+Y:
T(X+Y)=T\!\left(\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\[4pt] c+c' & d+d'\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}2(a+a')-(b+b') & c+c' \\[4pt] d+d' & a+a'\end{pmatrix}.
Distribuindo e reagrupando termos obtemos
T(X+Y)=\begin{pmatrix}2a-b+2a'-b' & c+c' \\[4pt] d+d' & a+a'\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculemos T(X) e T(Y) separadamente e somemos:
T(X)=\begin{pmatrix}2a-b & c \\[4pt] d & a\end{pmatrix}, \qquad T(Y)=\begin{pmatrix}2a'-b' & c' \\[4pt] d' & a'\end{pmatrix}.
A soma T(X)+T(Y) é
T(X)+T(Y)=\begin{pmatrix}2a-b+2a'-b' & c+c' \\[4pt] d+d' & a+a'\end{pmatrix}.
Comparando com o resultado do Passo 4 vemos que
T(X+Y)=T(X)+T(Y).
Portanto a propriedade de aditividade está satisfeita.]

Passo 6

Agora verificamos homogeneidade. Seja \lambda\in\mathbb{R}. A multiplicação escalar de X por \lambda é
\lambda X=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
Aplicando T a \lambda X obtemos
T(\lambda X)=\begin{pmatrix}2(\lambda a)-(\lambda b) & \lambda c \\[4pt] \lambda d & \lambda a\end{pmatrix}.
Fatorando \lambda de cada entrada:
T(\lambda X)=\lambda\begin{pmatrix}2a-b & c \\[4pt] d & a\end{pmatrix}=\lambda\,T(X).
Portanto a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.]

Passo 7

Verificação adicional (consequência das propriedades): para a matriz nula 0=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} vale
T(0)=\begin{pmatrix}2\cdot 0-0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=0,
como esperado para uma transformação linear.]

Passo 8

Conclusão: T satisfaz aditividade e homogeneidade para quaisquer matrizes e escalares, logo é transformação linear. Observação final: o codomínio consistente é M_{2\times2}(\mathbb{R}), não \mathbb{R}.

Resposta

Sim. T é transformação linear T: M_{2\times2}(\mathbb{R})\to M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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