Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
dada por
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida em
por
O enunciado escreve o contraditório
(codomínio
), mas a imagem mostrada é uma matriz
. Vou interpretar que o codomínio correto é
. A pergunta é: verificar se
é uma transformação linear (ou seja, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade para todos
e todo
).]
Passo 2
Relembrando a definição prática que usaremos (passo-a-passo):
é linear se e somente se, para quaisquer
e qualquer escalar
,
Vou verificar (i) e (ii) explicitamente calculando as entradas. Também, como verificação extra, posso checar que
(essa é consequência das duas propriedades).
Passo 3
Escolhemos matrizes genéricas
A soma
tem entradas somadas componente a componente:
Passo 4
Calculemos
aplicando a definição de
à matriz
:
Distribuindo e reagrupando termos obtemos
Passo 5
Agora calculemos
e
separadamente e somemos:
A soma
é
Comparando com o resultado do Passo 4 vemos que
Portanto a propriedade de aditividade está satisfeita.]
Passo 6
Agora verificamos homogeneidade. Seja
. A multiplicação escalar de
por
é
Aplicando
a
obtemos
Fatorando
de cada entrada:
Portanto a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.]
Passo 7
Verificação adicional (consequência das propriedades): para a matriz nula
vale
como esperado para uma transformação linear.]
Passo 8
Conclusão:
satisfaz aditividade e homogeneidade para quaisquer matrizes e escalares, logo é transformação linear. Observação final: o codomínio consistente é
, não
.
Resposta
Sim.
é transformação linear
.