Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
.
O que se pede: verificar se é uma transformação linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar).
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: verificar se
Informações relevantes fornecidas:
- O domínio é
, o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a . - A imagem de
é em . - A regra de
é avaliar o polinômio no ponto : para todo , .
Passo 2
Lembra do que significa “transformação linear”? Vou revisar devagar e de forma prática. Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
do domínio e qualquer escalar
, valem duas propriedades:
- Aditividade (ou preserva soma):
. - Homogeneidade (ou preserva multiplicação escalar):
.
Se conseguirmos mostrar essas duas propriedades para todos os polinômios e todo escalar real, então
é linear. Vamos testar essas propriedades explicitamente.
Passo 3
Escolho polinômios genéricos em
. Seja
com
. Vou calcular
,
,
e
(para
) usando a definição
.
Passo 4
Verificação da aditividade
.
Primeiro, escrevo a soma dos polinômios:
Agora aplico
, que é avaliar em
:
Reagrupando termos:
Mas
e
. Logo
Então a propriedade de aditividade está satisfeita para polinômios genéricos.
Passo 5
Verificação da homogeneidade
.
Considere
. O polinômio
é
Avaliando em
obtemos
Mas
, então
Portanto a homogeneidade também está satisfeita.
Passo 6
Já que mostramos explicitamente as duas propriedades fundamentais (aditividade e homogeneidade) para polinômios genéricos em
, concluímos que
é uma transformação linear.
Para consolidar a intuição, um exemplo numérico rápido: tome
e
. Então
,
. Temos
e
. Para
,
. Tudo bate, reforçando que avaliar em um ponto é uma aplicação linear (chamada funcional de avaliação).
Resposta
Sim.
é uma transformação linear.