Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
T: P_{2}(x) \longrightarrow \mathbb{R} dada por T(p)=p(1).

Passo 1

O enunciado dá a transformação T: P_{2}(x)\longrightarrow\mathbb{R} definida por T(p)=p(1).
O que se pede: verificar se T é uma transformação linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar).
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio é P_{2}(x), o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2.
  • A imagem de T é em \mathbb{R}.
  • A regra de T é avaliar o polinômio no ponto x=1: para todo p\in P_2, T(p)=p(1).

Passo 2

Lembra do que significa “transformação linear”? Vou revisar devagar e de forma prática. Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem duas propriedades:
  1. Aditividade (ou preserva soma): T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade (ou preserva multiplicação escalar): T(\lambda u)=\lambda T(u).
Se conseguirmos mostrar essas duas propriedades para todos os polinômios e todo escalar real, então T é linear. Vamos testar essas propriedades explicitamente.

Passo 3

Escolho polinômios genéricos em P_2. Seja
p(x)=ax^2+bx+c\quad\text{e}\quad q(x)=dx^2+ex+f,
com a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}. Vou calcular T(p), T(q), T(p+q) e T(\lambda p) (para \lambda\in\mathbb{R}) usando a definição T(r)=r(1).

Passo 4

Verificação da aditividade T(p+q)=T(p)+T(q).
Primeiro, escrevo a soma dos polinômios:
(p+q)(x)=(a+d)x^2+(b+e)x+(c+f).
Agora aplico T, que é avaliar em x=1:
T(p+q)=(p+q)(1)=(a+d)+(b+e)+(c+f).
Reagrupando termos:
(a+d)+(b+e)+(c+f)=(a+b+c)+(d+e+f).
Mas (a+b+c)=p(1)=T(p) e (d+e+f)=q(1)=T(q). Logo
T(p+q)=T(p)+T(q).
Então a propriedade de aditividade está satisfeita para polinômios genéricos.

Passo 5

Verificação da homogeneidade T(\lambda p)=\lambda T(p).
Considere \lambda\in\mathbb{R}. O polinômio \lambda p é
(\lambda p)(x)=\lambda a x^2+\lambda b x+\lambda c.
Avaliando em x=1 obtemos
T(\lambda p)=(\lambda p)(1)=\lambda a+\lambda b+\lambda c=\lambda(a+b+c).
Mas a+b+c=p(1)=T(p), então
T(\lambda p)=\lambda T(p).
Portanto a homogeneidade também está satisfeita.

Passo 6

Já que mostramos explicitamente as duas propriedades fundamentais (aditividade e homogeneidade) para polinômios genéricos em P_2, concluímos que T é uma transformação linear.
Para consolidar a intuição, um exemplo numérico rápido: tome p(x)=2x^2+3x+4 e q(x)=x^2-x+1. Então T(p)=p(1)=2+3+4=9, T(q)=1-1+1=1. Temos T(p+q)= (p+q)(1)=10 e T(p)+T(q)=9+1=10. Para \lambda=2, T(2p)=2\cdot 9=18. Tudo bate, reforçando que avaliar em um ponto é uma aplicação linear (chamada funcional de avaliação).

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.

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