No decorrer da disciplina Álgebra I foram estudadas algumas estruturas algébricas.
Assinale as alternativas que contêm o nome das estruturas algébricas estudadas na disciplina Álgebra I.
Você pode marcar mais de uma opção.
□ a. Anel.
□ b. Grupo.
□ c. Categoria.
□ d. Encapulsamento.
□ e. Corpo.
Assinale as alternativas que contêm o nome das estruturas algébricas estudadas na disciplina Álgebra I.
□ a. Anel.
□ b. Grupo.
□ c. Categoria.
□ d. Encapulsamento.
□ e. Corpo.
Passo 1
O enunciado pede: assinalar as alternativas que contêm o nome de estruturas algébricas estudadas em Álgebra I. É permitido marcar mais de uma opção. As alternativas dadas são:
- a. Anel.
- b. Grupo.
- c. Categoria.
- d. Encapulsamento.
- e. Corpo.
Passo 2
O que é um grupo — definição e como reconhecer um grupo numa prova.
- Definição: um conjunto
com uma operação binária é um grupo se satisfaz quatro propriedades: - (Fechamento) para todo
, tem-se . - (Associatividade) para todo
, . - (Elemento neutro) existe
tal que para todo , . - (Inversos) para cada
existe com .
- (Fechamento) para todo
- Observações didáticas:
- Não é exigido que
seja comutativa; se for, chama-se grupo abeliano. - Exemplo simples: o conjunto dos inteiros
com a operação soma é um grupo abeliano: fechamento (soma de inteiros é inteiro), associatividade da soma, neutro , e inverso de é . - Como identificar numa questão: verifique as quatro propriedades acima. Se faltar inverso ou neutro, não é grupo.
- Não é exigido que
Passo 3
O que é um anel — definição, exemplos e diferenças importantes com grupo.
- Definição: um anel é um conjunto
equipado com duas operações, normalmente chamadas de adição e multiplicação , tais que: -
é um grupo abeliano (ou seja, fechamento, associatividade, neutro , inversos e comutatividade para ). -
é uma estrutura com a operação associativa (nem sempre existe neutro multiplicativo; quando existe diz-se que o anel tem unidade). - Distribuição: para todos
, e .
-
- Observações didáticas:
- Um anel pode ser comutativo ou não em relação à multiplicação;
com as operações usuais é um exemplo de anel comutativo e com unidade . - Exemplo não comutativo: o conjunto das matrizes
sobre com soma e produto de matrizes é um anel (tem unidade ), mas a multiplicação não é comutativa. - Relação com grupo: a estrutura aditiva de um anel é um grupo abeliano; a parte multiplicativa tem propriedades diferentes e precisa-se verificar as leis distributivas.
- Um anel pode ser comutativo ou não em relação à multiplicação;
Passo 4
O que é um corpo (field) — definição, exemplos e relação com anel e grupo.
- Definição: um corpo (ou campo)
é um anel com unidade tal que os elementos não nulos formam um grupo multiplicativo abeliano. Em outras palavras: -
é um grupo abeliano. -
é um grupo abeliano. - As leis distributivas valem.
-
- Observações didáticas:
- Exemplo clássico:
, , são corpos: todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. - Outro exemplo finito:
(inteiros módulo primo ) é um corpo quando é primo. - Relação: todo corpo é um anel comutativo com unidade, mas nem todo anel é corpo porque pode faltar inverso multiplicativo para elementos não nulos.
- Exemplo clássico:
Passo 5
E quanto às alternativas que não são estruturas algébricas estudadas em Álgebra I: categoria e encapsulamento.
- Categoria:
- Definição rápida: uma categoria é um conjunto de objetos e um conjunto de morfismos (setas) entre eles, com composição associativa e morfismos identidade para cada objeto. É uma linguagem abstrata para relacionar estruturas matemáticas.
- Comentário didático: category theory é uma área geral e muito abstrata; normalmente não é tratada como “estrutura algébrica” clássica em Álgebra I (que foca em grupos, anéis e corpos). Portanto, embora seja um conceito matemático, “Categoria” não é uma estrutura do tipo grupo/anel/corpo estudada rotineiramente em Álgebra I.
- Encapulsamento:
- Definição rápida: encapsulamento é um conceito de programação orientada a objetos (OOP) que descreve ocultar dados internos e expor interfaces. Não é um conceito da álgebra abstrata.
- Conclusão didática: “Encapulsamento” não é uma estrutura algébrica.
Passo 6
Resumo prático para a prova — como responder rápido:
- Se a alternativa nomeia uma das estruturas padrão de Álgebra I — grupo, anel, corpo — marque-a.
- Se for um termo de programação (encapulsamento) ou um conceito de teoria das categorias (geralmente não parte do conteúdo básico de Álgebra I), não marque.
- Assim, as alternativas corretas a assinalar são as que correspondem a Grupo, Anel e Corpo.
Resposta
a. Anel
b. Grupo
e. Corpo