Observando a parábola do dardo arremessado por um atleta, um matemático resolveu obter uma expressão que lhe permitisse calcular a altura y, em metros, do dardo em relação ao solo, decorridos t segundos do instante de seu lançamento ( t=0 ). Se o dardo chegou a altura máxima de 20 m e atingiu o solo 4 segundos após o seu lançamento, então, desprezada a altura do atleta, a expressão que o matemático encontrou foi
a) y=-5 t^2+20 t
b) y=-5 t^2+10 t
c) y=-5 t^2+t
d) y=-10 t^2+50
e ) y=-10 t^2+10

Passo 1

O enunciado pede pra achar a função quadrática que descreve a altura y = a,t^2 + b,t + c do dardo em função do tempo . A gente sabe que:
• Aos instantes e segundos, o dardo está no solo ( ).
• A altura máxima é 20 m, que ocorre exatamente no meio do voo (por simetria da parábola), ou seja em .
Conteúdo: funções quadráticas (parábolas), raízes e vértice. Vamos usar a forma geral
e determinar pelas informações dadas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a forma geral:
y = a,t^2 + b,t + c
Aqui é o tempo e é a altura. Os coeficientes são números que a gente vai achar usando as condições do problema.

Passo 3

Usando y(0)=acdot0^2 + bcdot0 + c = c = 0 :
y = a,t^2 + b,t
Então já temos , e a função vira

Passo 4

Agora, acdot4^2 + bcdot4 = 0 Longrightarrow 16a + 4b = 0 Longrightarrow 4a + b = 0 Longrightarrow b = -4a (o dardo volta ao solo em 4 s):

Passo 5

A altura máxima (vértice da parábola) ocorre em y(2)=acdot2^2 + bcdot2 = 20 e vale .
Teoria rápida: para com raízes em 0 e 4, o vértice está no meio, .
Então usamos

Passo 6

Substituindo acdot(2)^2 + (-4a)cdot2 = 20 Longrightarrow 4a - 8a = 20 Longrightarrow -4a = 20 Longrightarrow a = -5 e b = -4a = -4(-5) = 20 em :
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Passo 7

Substituindo boxedy = -5,t^2 + 20,t e na forma geral , temos
Comparando com as alternativas, é a letra (a).

Resposta

A expressão é , opção (a).

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