Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação da onda unidimensional, em coordenadas cartesianas. Justifique a sua resposta.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função $ u(x, t) = F(x - vt) $ satisfaz a equação da onda unidimensional em coordenadas cartesianas. A equação da onda é uma equação diferencial que descreve como as ondas se propagam no espaço e no tempo. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função $ u(x, t) $ em relação a $ x $ e $ t $ e verificar se elas se encaixam na equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da onda unidimensional. Ela é dada por:
Isso significa que a segunda derivada de $ u $ em relação ao tempo ($ t $) deve ser igual a $ v^2 $ vezes a segunda derivada de $ u $ em relação ao espaço ($ x $).
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ u(x, t) = F(x - vt) $ em relação a $ t $. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada de $ u $ em relação a $ t $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 6
E a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 7
Agora, substituímos as derivadas na equação da onda para verificar se ela é satisfeita:
Então:
Isso mostra que a equação da onda é satisfeita pela função $ u(x, t) = F(x - vt) $.
Resposta
Sim, a função $ u(x, t) = F(x - vt) $ satisfaz a equação da onda unidimensional, pois ao calcular as derivadas necessárias, vemos que $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $, cumprindo assim a equação da onda.