Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
(a)
\int_{0}^{4} \int_{0}^{\sqrt{x}} f(x, y) d y d x.
(b)
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{y / x} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para, em cada caso, esboçar a região de integração no plano xy e depois trocar a ordem dos integrais iterados. O conteúdo é interpretação de regiões dadas por desigualdades e uso de projeção nos eixos para reescrever a integral.

Passo 2

Analisando (a), a região original é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le4,\;0\le y\le\sqrt{x}\}.
Para desenhar, note que y=\sqrt{x} é a curva no primeiro quadrante que vai de (0,0) a (4,2). A região fica sob essa curva, acima de y=0, e entre x=0 e x=4.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo y. Como y vai de 0 (na origem) até o máximo \sqrt{4}=2, temos
0\le y\le2.
Para cada y fixo, x deve satisfazer y\le\sqrt{x}\iff x\ge y^2, e sempre x\le4. Logo
y^2\le x\le4.
Portanto a integral com ordem trocada é
\int_{0}^{4}\!\int_{0}^{\sqrt{x}}f(x,y)\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\!\int_{y^{2}}^{4}f(x,y)\,dx\,dy.

Passo 4

Analisando (b), a região original é
S=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;y\le x\le1\}.
No plano, é o triângulo abaixo da reta x=1, acima de y=0 e acima da reta x=y, indo de (0,0) a (1,1).

Passo 5

Para trocar a ordem, projetamos S no eixo x. Aqui x varia de 0 (onde y=0) até 1. Para cada x em [0,1], y vai de 0 até a reta y=x. Logo
0\le x\le1, \quad 0\le y\le x.
Assim
\int_{0}^{1}\!\int_{y}^{1}e^{\tfrac{y}{x}}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x}e^{\tfrac{y}{x}}\,dy\,dx.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{0}^{2}\!\int_{y^{2}}^{4}f(x,y)\,dx\,dy
(b) \displaystyle \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x}e^{\tfrac{y}{x}}\,dy\,dx

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