Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para, em cada caso, esboçar a região de integração no plano
e depois trocar a ordem dos integrais iterados. O conteúdo é interpretação de regiões dadas por desigualdades e uso de projeção nos eixos para reescrever a integral.
Passo 2
Analisando (a), a região original é
Para desenhar, note que
é a curva no primeiro quadrante que vai de
a
. A região fica sob essa curva, acima de
, e entre
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. Como
vai de
(na origem) até o máximo
, temos
Para cada
fixo,
deve satisfazer
, e sempre
. Logo
Portanto a integral com ordem trocada é
Passo 4
Analisando (b), a região original é
No plano, é o triângulo abaixo da reta
, acima de
e acima da reta
, indo de
a
.
Passo 5
Para trocar a ordem, projetamos
no eixo
. Aqui
varia de 0 (onde
) até 1. Para cada
em
,
vai de 0 até a reta
. Logo
Assim
Resposta
(a)
(b)
(b)