Encontre o valor da constante
para a qual a integral
converge. Calcule a integral para esse valor de
.
Solução.
Para a outra integral usamos a substituição
. Dai,
Solução.
Passo 1
O enunciado pede para achar o valor de
que torna convergente a integral imprópria
e, para esse
, calcular o valor da integral. Vamos usar análise do comportamento assintótico para garantir a convergência e em seguida calcular as primitivas envolvidas.
Passo 2
Para
temos
logo o integrando se comporta como
. A integral de
diverge em infinito, então precisamos de
. Portanto
Passo 3
Tomando
, escrevemos a integral imprópria como limite:
As primitivas são conhecidas:
Passo 4
Avaliaremos cada integral de
a
:
Subtraindo,
Passo 5
Falta tomar o limite
. Note que
Logo