Encontre o valor da constante C para a qual a integral
integral0^+infty(1raizx^2+4-Cx+2) d x
converge. Calcule a integral para esse valor de C.
Solução.
integral0^+infty(1raizx^2+4-Cx+2) d x=lim t infty[integral0^t(1raizx^2+4-Cx+2) d x]
integral0^t(1raizx^2+4-Cx+2) d x=integral0^t 1raizx^2+4 d x-integral0^t Cx+2 d x
integral0^t Cx+2 d x=C cdot ln (x+2)]0^t=C[ln (t+2)-ln (2)]=C ln (t+22)
Para a outra integral usamos a substituição x=2 tg(theta). Dai,
integral0^t 1raizx^2+4 d x=integral0^t 2 sec ^2(theta)2 sec (theta) d theta=integral0^t sec (theta) d theta=ln [sec (theta)+tg(theta)]

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de C que torna convergente a integral imprópria
integral0^+inftyl(1raizx^2+4-Cx+2r),dx
e, para esse C, calcular o valor da integral. Vamos usar análise do comportamento assintótico para garantir a convergência e em seguida calcular as primitivas envolvidas.

Passo 2

Para xto+infty temos
1raizx^2+4sim1x, Cx+2simCx,
logo o integrando se comporta como (1-C)/x. A integral de 1/x diverge em infinito, então precisamos de 1-C=0. Portanto
C = 1

Passo 3

Tomando C=1, escrevemos a integral imprópria como limite:
integral0^inftyl(1raizx^2+4-1x+2r),dx = limttoinftyl[integral0^tdxraizx^2+4 -integral0^tdxx+2r]
As primitivas são conhecidas:
integraldxraizx^2+4 =lnl(x+raizx^2+4r), integraldxx+2 =ln(x+2)

Passo 4

Avaliaremos cada integral de 0 a t:
integral0^tdxraizx^2+4 =l[lnl(x+raizx^2+4r)r]0^t =lnl(t+raizt^2+4r) -ln(0+raiz0+4) =lnl(t+raizt^2+4r)-ln2,
integral0^tdxx+2 =l[ln(x+2)r]0^t =ln(t+2)-ln2
Subtraindo,
integral0^tl(1raizx^2+4-1x+2r),dx =lnl(t+raizt^2+4r)-ln(t+2)

Passo 5

Falta tomar o limite ttoinfty. Note que
t+raizt^2+4t+2 ;longrightarrow; t+(t+O(1/t))t(1+2/t) ;=; 2t+o(1)t+2 ;longrightarrow;2
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limttoinftyl[lnl(t+raizt^2+4r)-ln(t+2)r] =ln2

Resposta

C=1
integral0^+inftyl(1raizx^2+4-1x+2r),dx =ln2

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