Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo:
f(x)=(2 x^3+1)^32x+2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(2x^3+1r)^32x+2
O conteúdo aqui envolve a regra do quociente e, ao derivar o numerador, a regra da cadeia.

Passo 2

Seja
g(x) = l(2x^3+1r)^32 e h(x) = x+2
Pela regra do quociente,
f'(x) = g'(x),h(x) - g(x),h'(x)l(h(x)r)^2

Passo 3

Vamos achar g'(x) via regra da cadeia. Tome
u(x) = 2x^3+1, g(x) = [u(x)]^32
Então
u'(x)=6x^2,
e
g'(x) = 32,[u(x)]^31,u'(x) =32,(2x^3+1)^31cdot6x^2 =192,x^2,(2x^3+1)^31
Também h'(x)=1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente:
f'(x) = 192,x^2,(2x^3+1)^31,(x+2) - (2x^3+1)^32cdot1 (x+2)^2
Podemos fatorar (2x^3+1)^31 no numerador:
f'(x) = (2x^3+1)^31l[192x^2(x+2) - (2x^3+1)r](x+2)^2

Resposta

f'(x) = 192,x^2,(2x^3+1)^31(x+2);-;(2x^3+1)^32(x+2)^2

Exercícios relacionados