Verifique se as funções dadas são limitadas em D. Determine os pontos/valores de máximo e mínimo de f.
f(x)=xx^2+a, a >= 1, D=Df

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=xx^2+a, com a>=1, é limitada em Df e também determinar pontos e valores de máximo e mínimo. Vamos usar cálculo de derivada para achar extremos e limites para checar a limitação.

Passo 2

O denominador x^2+a nunca é zero (pois a>=1>0), logo o domínio é Df= R. Como f é contínua em R e tende a zero nas infinitas, faz sentido que seja limitada.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para derivar f. Para f(x)=xx^2+a temos
f'(x)=(1)(x^2+a)-x(2x)(x^2+a)^2=a-x^2(x^2+a)^2

Passo 4

Igualando f'(x)=0 obtemos a-x^2=0, isto é x=pmraiza. Avaliando f nesses pontos:
f(raiza)=raizaa+a=12raiza, f(-raiza)=-12raiza

Passo 5

Analisando o sinal de f'(x): é positivo para |x| e negativo para |x|>raiza. Portanto x=raiza é ponto de máximo local (e global) e x=-raiza é ponto de mínimo local (e global).

Passo 6

Finalmente, observamos que
limxtopminftyf(x)=0
fica dentro dos valores críticos, mostrando que f é limitada no intervalo
-tfrac12raiza<= f(x)<=tfrac12raiza

Resposta

A função é limitada em R, com máximo global em x=raiza, valor f(raiza)=tfrac12raiza, e mínimo global em x=-raiza, valor f(-raiza)=-tfrac12raiza.

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