Verifique se as funções dadas são limitadas em
. Determine os pontos/valores de máximo e mínimo de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
, com
, é limitada em
e também determinar pontos e valores de máximo e mínimo. Vamos usar cálculo de derivada para achar extremos e limites para checar a limitação.
Passo 2
O denominador
nunca é zero (pois
), logo o domínio é
. Como
é contínua em
e tende a zero nas infinitas, faz sentido que seja limitada.
Passo 3
Aplicamos a regra do quociente para derivar
. Para
temos
Passo 4
Igualando
obtemos
, isto é
. Avaliando
nesses pontos:
Passo 5
Analisando o sinal de
: é positivo para
e negativo para
. Portanto
é ponto de máximo local (e global) e
é ponto de mínimo local (e global).
Passo 6
Finalmente, observamos que
fica dentro dos valores críticos, mostrando que
Resposta
A função é limitada em
, com máximo global em
, valor
, e mínimo global em
, valor
.