Verifique se as funções dadas são limitadas em
. Determine os pontos/valores de máximo e mínimo de
.
Passo 1
A questão pede para verificar se a função
é limitada no conjunto
e, em seguida, achar pontos ou valores de máximo e mínimo. Vamos usar cálculo de derivada para estudar monotonicidade e avaliar nos extremos de cada subintervalo.
Passo 2
Calculemos a derivada de
para verificar monotonicidade. Como
vemos que
Passo 3
No intervalo
, os extremos são:
- Em
, tem-se (valor que não é atingido). - Em
, temos
Comodecresce, o menor valor (mínimo) neste trecho é em . Não há máximo pois não é atingido.
Passo 4
No intervalo
, os extremos são:
- Em
, - Em
, (valor que não é atingido).
Pelo decrescimento, o maior valor (máximo) neste trecho éem . Não há mínimo pois não é atingido.
Passo 5
Juntando as duas peças, vemos que o conjunto de valores de
em
está contido em
. O menor valor global é
em
e o maior valor global é
em
. Portanto
é limitada em
, com mínimo e máximo bem definidos.
Resposta
A função é limitada em
. O valor mínimo global é
e o valor máximo global é
.