Verifique se as funções dadas são limitadas em D. Determine os pontos/valores de máximo e mínimo de f.
f(x)=1x, D=[-infty,-5] cup[5, infty]

Passo 1

A questão pede para verificar se a função f(x)=tfrac1x é limitada no conjunto D=(-infty,-5]cup[5,infty] e, em seguida, achar pontos ou valores de máximo e mínimo. Vamos usar cálculo de derivada para estudar monotonicidade e avaliar nos extremos de cada subintervalo.

Passo 2

Calculemos a derivada de f para verificar monotonicidade. Como
f'(x)=-1x^2,
vemos que f'(x)<0 para todo xneq0. Logo, f é estritamente decrescente em cada componente de D. Isso significa que os valores de f em cada intervalo atingem os extremos nos endpoints.

Passo 3

No intervalo ( -infty,-5], os extremos são:
  • Em xto-infty, tem-se f(x)=tfrac1xto0^- (valor que não é atingido).
  • Em x=-5, temos f(-5)= -tfrac15=-0,2
    Como f decresce, o menor valor (mínimo) neste trecho é -0,2 em x=-5. Não há máximo pois 0^- não é atingido.

Passo 4

No intervalo [5,infty), os extremos são:
  • Em x=5, f(5)=tfrac15=0,2
  • Em xtoinfty, f(x)=tfrac1xto0^+ (valor que não é atingido).
    Pelo decrescimento, o maior valor (máximo) neste trecho é 0,2 em x=5. Não há mínimo pois 0^+ não é atingido.

Passo 5

Juntando as duas peças, vemos que o conjunto de valores de f em D está contido em [-0,2,0,2]. O menor valor global é -0,2 em x=-5 e o maior valor global é 0,2 em x=5. Portanto f é limitada em D, com mínimo e máximo bem definidos.

Resposta

A função é limitada em D. O valor mínimo global é f(-5)=-0,2 e o valor máximo global é f(5)=0,2.

Exercícios relacionados