Verifique que as funções dadas são soluções da equação diferencial e determine seu wronskiano. y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0 ; \quad e^{t}, \quad e^{-t} \cdot \quad e^{-2 t}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar que as funções dadas são soluções da equação diferencial e determinar o wronskiano delas. As informações fornecidas são:
Definição e significado do wronskiano (mini-curso rápido).
Para três funções y_1,y_2,y_3 o wronskiano W(y_1,y_2,y_3)(t) é o determinante da matriz cujas linhas são as funções e suas primeiras duas derivadas:
Importante: se este determinante for não nulo para algum t (ou em todo intervalo considerado), as três funções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem. Agora vamos calcular esse determinante passo a passo.]
Passo 6
Forme a matriz do wronskiano usando as funções e as derivadas já calculadas:
Para facilitar o cálculo, fatoramos os fatores exponenciais de cada coluna: da coluna 1 fatoramos e^{t}, da coluna 2 fatoramos e^{-t} e da coluna 3 fatoramos e^{-2t}. Isso dá um fator comum e^{t}\cdot e^{-t}\cdot e^{-2t}=e^{-2t} multiplicando o determinante da matriz com entradas simples:
Interpretação final e motivação para a prova: como W(t)=-6e^{-2t} é diferente de zero para todo t (já que e^{-2t}>0 sempre), as três soluções são linearmente independentes. Isso confirma que y_1,y_2,y_3 formam uma base (conjunto fundamental) de soluções da equação diferencial linear homogênea dada.
Resposta
Sim: as 3 funções e^{t},\; e^{-t},\; e^{-2t} são soluções da equação diferencial. W(y_1,y_2,y_3)(t) = -6e^{-2t}.