Verifique que as funções dadas são soluções da equação diferencial e determine seu wronskiano.
y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0 ; \quad e^{t}, \quad e^{-t} \cdot \quad e^{-2 t}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar que as funções dadas são soluções da equação diferencial e determinar o wronskiano delas. As informações fornecidas são:
\text{Equação:}\qquad y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0.çã
\text{Funções dadas:}\qquad y_1(t)=e^{t},\qquad y_2(t)=e^{-t},\qquad y_3(t)=e^{-2t}.çõ
As perguntas explícitas são:
  1. Cada uma das funções y_1,y_2,y_3 satisfaz a equação diferencial? (ou seja, ao substituir na equação a soma dá zero)
  2. Qual é o wronskiano W(y_1,y_2,y_3)(t) dessas três funções?

Passo 2

Verificação para y_1(t)=e^{t}.
Primeiro calcule as derivadas de y_1:
y_1' = e^{t},\qquad y_1''=e^{t},\qquad y_1'''=e^{t}.
Substituímos na equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y.
Para y_1 obtemos
y_1'''+2y_1''-y_1'-2y_1 = e^{t}+2e^{t}-e^{t}-2e^{t} = (1+2-1-2)e^{t}=0.
Portanto y_1(t)=e^{t} é solução.

Passo 3

Verificação para y_2(t)=e^{-t}.
Calcule as derivadas:
y_2' = -e^{-t},\qquad y_2''=e^{-t},\qquad y_2'''=-e^{-t}.
Substituindo:
y_2'''+2y_2''-y_2'-2y_2 = -e^{-t}+2e^{-t}-(-e^{-t})-2e^{-t}=(-1+2+1-2)e^{-t}=0.
Logo y_2(t)=e^{-t} também é solução.

Passo 4

Verificação para y_3(t)=e^{-2t}.
Calcule as derivadas:
y_3' = -2e^{-2t},\qquad y_3''=4e^{-2t},\qquad y_3'''=-8e^{-2t}.
Substituindo:
y_3'''+2y_3''-y_3'-2y_3 = -8e^{-2t}+2\cdot4e^{-2t}-(-2e^{-2t})-2e^{-2t}
= (-8+8+2-2)e^{-2t}=0.
Logo y_3(t)=e^{-2t} é solução.

Passo 5

Definição e significado do wronskiano (mini-curso rápido).
Para três funções y_1,y_2,y_3 o wronskiano W(y_1,y_2,y_3)(t) é o determinante da matriz cujas linhas são as funções e suas primeiras duas derivadas:
W(y_1,y_2,y_3)(t)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & y_3\\[4pt] y_1'& y_2'& y_3'\\[4pt] y_1''& y_2''& y_3'' \end{vmatrix}.
Importante: se este determinante for não nulo para algum t (ou em todo intervalo considerado), as três funções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem. Agora vamos calcular esse determinante passo a passo.]

Passo 6

Forme a matriz do wronskiano usando as funções e as derivadas já calculadas:
\begin{pmatrix} y_1 & y_2 & y_3\\[4pt] y_1'& y_2'& y_3'\\[4pt] y_1''& y_2''& y_3'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{t} & e^{-t} & e^{-2t}\\[4pt] e^{t} & -e^{-t} & -2e^{-2t}\\[4pt] e^{t} & e^{-t} & 4e^{-2t} \end{pmatrix}.
Para facilitar o cálculo, fatoramos os fatores exponenciais de cada coluna: da coluna 1 fatoramos e^{t}, da coluna 2 fatoramos e^{-t} e da coluna 3 fatoramos e^{-2t}. Isso dá um fator comum e^{t}\cdot e^{-t}\cdot e^{-2t}=e^{-2t} multiplicando o determinante da matriz com entradas simples:
W(t)=e^{-2t} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 4 \end{vmatrix}.
Agora calcule o determinante da matriz 3\times3. Expandindo pela primeira linha:
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} =1\cdot\begin{vmatrix}-1 & -2\\[4pt] 1 & 4\end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 4\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{vmatrix}.
Calcule cada 2\times2:
\begin{vmatrix}-1 & -2\\[4pt] 1 & 4\end{vmatrix}=(-1)\cdot4-(-2)\cdot1=-4+2=-2,
\begin{vmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 4\end{vmatrix}=1\cdot4-(-2)\cdot1=4+2=6,
\begin{vmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot1=1+1=2.
Substituindo,
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = (-2) - 6 + 2 = -6.
Portanto
W(y_1,y_2,y_3)(t)=e^{-2t}\cdot(-6) = -6e^{-2t}.]

Passo 7

Interpretação final e motivação para a prova: como W(t)=-6e^{-2t} é diferente de zero para todo t (já que e^{-2t}>0 sempre), as três soluções são linearmente independentes. Isso confirma que y_1,y_2,y_3 formam uma base (conjunto fundamental) de soluções da equação diferencial linear homogênea dada.

Resposta

Sim: as 3 funções e^{t},\; e^{-t},\; e^{-2t} são soluções da equação diferencial.
W(y_1,y_2,y_3)(t) = -6e^{-2t}.

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