Calcule
onde
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende ao infinito da sequência
definida por
Informações relevantes:
- A sequência
é a soma dos primeiros termos da sequência genérica para . - Precisamos calcular
.
Passo 2
Vamos transformar o termo genérico
em uma forma que facilite a soma. A técnica é decomposição em frações parciais: procurar constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isto é uma identidade polinomial em
. Igualando coeficientes (ou substituindo valores de
) obtemos
e
. Portanto
Explicação amiguinha: isso mostra que cada termo é a diferença entre duas frações consecutivas, o que costuma provocar cancelamentos quando somamos vários termos (efeito “telescópio”).
Passo 3
Substituindo a identidade no somatório que define
, temos
Escrever a soma dessa forma é o passo chave para ver o telescópico.
Passo 4
Vamos expandir explicitamente a soma para ver os cancelamentos:
Observe que a maioria dos termos internos se cancelam em pares:
aparece com sinal
no primeiro parêntese e com sinal
no segundo, e assim por diante. Após o cancelamento restam somente os extremos:
Portanto obtemos a forma fechada
Passo 5
Agora precisamos cuidar do limite quando
. Primeiro note que
porque o denominador
cresce sem limite, fazendo a fração tender a zero. Isso é um fato básico sobre sequências do tipo
.
Passo 6
Como
e
, concluímos o valor do limite pedido na seção de resposta final. (Para conferir que a fórmula está correta, veja exemplos numéricos: para
temos
e
; para
temos
e
.)