Calcule \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} onde a_{n}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando n tende ao infinito da sequência \{a_{n}\} definida por
a_{n}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}.
Informações relevantes:
  • A sequência a_{n} é a soma dos primeiros n termos da sequência genérica \dfrac{1}{k(k+1)} para k=1,2,\dots,n.
  • Precisamos calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Vamos transformar o termo genérico \dfrac{1}{k(k+1)} em uma forma que facilite a soma. A técnica é decomposição em frações parciais: procurar constantes A e B tais que
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}.
Multiplicando ambos os lados por k(k+1) obtemos
1 = A(k+1)+Bk.
Isto é uma identidade polinomial em k. Igualando coeficientes (ou substituindo valores de k) obtemos A=1 e B=-1. Portanto
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.
Explicação amiguinha: isso mostra que cada termo é a diferença entre duas frações consecutivas, o que costuma provocar cancelamentos quando somamos vários termos (efeito “telescópio”).

Passo 3

Substituindo a identidade no somatório que define a_{n}, temos
a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).
Escrever a soma dessa forma é o passo chave para ver o telescópico.

Passo 4

Vamos expandir explicitamente a soma para ver os cancelamentos:
\begin{aligned} a_{n} &= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right). \end{aligned}
Observe que a maioria dos termos internos se cancelam em pares: \frac{1}{2} aparece com sinal - no primeiro parêntese e com sinal + no segundo, e assim por diante. Após o cancelamento restam somente os extremos:
a_{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}.
Portanto obtemos a forma fechada
a_{n}=1-\frac{1}{n+1}.

Passo 5

Agora precisamos cuidar do limite quando n\to\infty. Primeiro note que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0,
porque o denominador n+1 cresce sem limite, fazendo a fração tender a zero. Isso é um fato básico sobre sequências do tipo \dfrac{1}{\text{algo que vai a }\infty}.

Passo 6

Como a_{n}=1-\dfrac{1}{n+1} e \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+1}=0, concluímos o valor do limite pedido na seção de resposta final. (Para conferir que a fórmula está correta, veja exemplos numéricos: para n=1 temos a_{1}=\tfrac{1}{2} e 1-\tfrac{1}{1+1}= \tfrac{1}{2}; para n=2 temos a_{2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{3} e 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.)

Resposta

\displaystyle 1

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