QUESTÁO 19

Considere os conjuntos A, B,(A \cap B), C e seus respectivos números de elementos, n(A), n(B), n(A \cap B) e n\text{(C)} :
  • A com \mathrm{n}(\mathrm{A})=6
  • B com n(B)=k
  • \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \operatorname{com} \mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{k}-3
  • C=\{(x ; y) \mid x \in A, y \in B e x \neq y\} com n\text{(C)}=33
O número de elementos comuns aos conjuntos A e B é igual a:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5

Passo 1

O enunciado fornece e pergunta o seguinte:
  • Dados:
    • n(A)=6.
    • n(B)=k.
    • n(A\cap B)=k-3.
    • C=\{(x;y)\mid x\in A,\;y\in B\text{ e }x\neq y\}.
    • n\text{(C)}=33.
  • Pergunta: qual é o número de elementos comuns aos conjuntos A e B? Ou seja, encontrar n(A\cap B).

Passo 2

Primeiro vamos entender o que é C. C é o conjunto de pares ordenados (x;y) com x em A e y em B, mas excluindo os pares em que x=y.
A ideia de contagem básica usada aqui é: se tenho n(A) possibilidades para escolher x e n(B) possibilidades para escolher y, então, sem nenhuma restrição, o número total de pares ordenados (x;y) é o produto
n(A)\cdot n(B).
Isto é a regra do produto: para escolher um par (x;y) eu escolho x ( n(A) opções) e independentemente escolho y ( n(B) opções), totalizando o produto das quantidades. Como n(A)=6 e n(B)=k, o total sem restrição é
6k.

Passo 3

Agora precisamos excluir os pares em que x=y. Que pares são esses? São exatamente os pares (z;z) em que z pertence tanto a A quanto a B, isto é, os elementos de A\cap B. Portanto o número de pares com x=y é igual a n(A\cap B).
Pelo enunciado sabemos que
n(A\cap B)=k-3.

Passo 4

Assim, o número de pares em C (pares com x\neq y) é o total de pares menos os pares com x=y. Escrevendo em forma de equação:
n\text{(C)}=6k - n(A\cap B).
Substituindo n(A\cap B)=k-3 obtemos
n\text{(C)}=6k-(k-3).

Passo 5

Vamos simplificar a expressão e usar n\text{(C)}=33. Primeiro simplificar:
6k-(k-3)=6k-k+3=5k+3.
Portanto
n\text{(C)}=5k+3.
Como n\text{(C)}=33, temos a equação
5k+3=33.
Resolvendo:
5k=33-3=30,
k=\frac{30}{5}=6.

Passo 6

Agora que encontramos k=6, calculamos n(A\cap B) usando n(A\cap B)=k-3:
n(A\cap B)=6-3=3.

Resposta

3 (B)

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