QUESTÁO 19
Considere os conjuntos
e seus respectivos números de elementos,
e
:
-
com
-
com
-
-
e
com
O número de elementos comuns aos conjuntos A e B é igual a:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
Passo 1
O enunciado fornece e pergunta o seguinte:
-
Dados:
-
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Pergunta: qual é o número de elementos comuns aos conjuntos
e ? Ou seja, encontrar .
Passo 2
Primeiro vamos entender o que é
.
é o conjunto de pares ordenados
com
em
e
em
, mas excluindo os pares em que
.
A ideia de contagem básica usada aqui é: se tenho
possibilidades para escolher
e
possibilidades para escolher
, então, sem nenhuma restrição, o número total de pares ordenados
é o produto
Isto é a regra do produto: para escolher um par
eu escolho
(
opções) e independentemente escolho
(
opções), totalizando o produto das quantidades. Como
e
, o total sem restrição é
Passo 3
Agora precisamos excluir os pares em que
. Que pares são esses? São exatamente os pares
em que
pertence tanto a
quanto a
, isto é, os elementos de
. Portanto o número de pares com
é igual a
.
Pelo enunciado sabemos que
Passo 4
Assim, o número de pares em
(pares com
) é o total de pares menos os pares com
. Escrevendo em forma de equação:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Vamos simplificar a expressão e usar
. Primeiro simplificar:
Portanto
Como
, temos a equação
Resolvendo:
Passo 6
Agora que encontramos
, calculamos
usando
: