Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensāo 3 :
(b)
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaz a equação de Laplace em dimensão 3, ou seja,
Para isso, vamos calcular separadamente as segundas derivadas parciais em
,
e
e depois somá-las.
Passo 2
Calcular as derivadas em
. A primeira derivada é
e a segunda derivada em
fica
Passo 3
Calcular as derivadas em
. A primeira derivada é
logo a segunda derivada em
é
Passo 4
Calcular as derivadas em
. A primeira derivada é
e a segunda derivada em
resulta em
Passo 5
Somando as segundas derivadas parciais, temos
portanto
.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace em dimensão 3.