Verifique que as funçōes dadas satisfazem à equaçāo de Laplace:
(c)
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
quando
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais primeiras e segundas de
.
Passo 2
Primeiro obtemos
e
.
Para , use a regra da cadeia em
:
Para
Para
, temos
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas.
Para :
Para
Para
:
Passo 4
Somando as segundas derivadas:
Portanto,
satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
satisfaz