Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensāo 3 :
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0
(b) f(x, y, z)=e^{3 x+4 y} \cos (5 z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
f(x,y,z)=e^{3x+4y}\cos(5z)
satisfaz a equação de Laplace em dimensão 3, ou seja,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} =0.
Para isso, vamos calcular separadamente as segundas derivadas parciais em x, y e z e depois somá-las.

Passo 2

Calcular as derivadas em x. A primeira derivada é
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{3x+4y}\cos(5z)\bigr) =3e^{3x+4y}\cos(5z),
e a segunda derivada em x fica
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3e^{3x+4y}\cos(5z)\bigr) =9e^{3x+4y}\cos(5z).

Passo 3

Calcular as derivadas em y. A primeira derivada é
\frac{\partial f}{\partial y} =4e^{3x+4y}\cos(5z),
logo a segunda derivada em y é
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4e^{3x+4y}\cos(5z)\bigr) =16e^{3x+4y}\cos(5z).

Passo 4

Calcular as derivadas em z. A primeira derivada é
\frac{\partial f}{\partial z} =-5e^{3x+4y}\sin(5z),
e a segunda derivada em z resulta em
\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-5e^{3x+4y}\sin(5z)\bigr) =-25e^{3x+4y}\cos(5z).

Passo 5

Somando as segundas derivadas parciais, temos
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} +\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} =(9+16-25)\,e^{3x+4y}\cos(5z) =0,
portanto \Delta f=0.

Resposta

A função
f(x,y,z)=e^{3x+4y}\cos(5z)
satisfaz a equação de Laplace em dimensão 3.

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