Verifique se as funções são contínuas no ponto indicado:
f(x)=3 x^{2}-2 x+1 em x=2

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=3x^{2}-2x+1 e pede para verificar se ela é contínua no ponto x=2.
Informações dadas:
  • A expressão de f é f(x)=3x^{2}-2x+1.
  • O ponto onde queremos verificar a continuidade é x=2.
O que se pede:
  • Determinar se \,f é contínua em x=2, ou seja, verificar se \lim_{x\to2} f(x)=f(2).

Passo 2

Definição de continuidade num ponto (explicada devagar):
Uma função f é contínua em x=a quando satisfaz três coisas juntas, que na prática se reduzem a uma condição simples:
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isso significa: ao aproximarmos x de a, os valores de f(x) aproximam-se do valor que a própria função toma em a. Se a igualdade acima vale, então não há “buraco”, “salto” ou “infinito” no ponto — a função é contínua ali.

Passo 3

Regras de limites que vamos usar (explicadas):
  • Se \lim_{x\to a} g(x) e \lim_{x\to a} h(x) existem, então
\lim_{x\to a} \big(g(x)+h(x)\big)=\lim_{x\to a} g(x) + \lim_{x\to a} h(x).
  • Para constante c,
\lim_{x\to a} c\cdot g(x)=c\cdot \lim_{x\to a} g(x).
  • E para produto,
\lim_{x\to a} \big(g(x)\cdot h(x)\big)=\lim_{x\to a} g(x)\cdot \lim_{x\to a} h(x).
Também usamos que a função identidade x\mapsto x satisfaz \lim_{x\to a} x = a, e portanto \lim_{x\to a} x^{2} = (\lim_{x\to a} x)^{2}=a^{2}.
Essas regras permitem calcular limites de polinômios por substituição direta, porque polinômios são combinações de somas, produtos e constantes.

Passo 4

Calcular o limite \lim_{x\to2} f(x) passo a passo:
\lim_{x\to2} f(x)=\lim_{x\to2}\big(3x^{2}-2x+1\big).
Aplicando as regras de limites (linearidade e fator constante),
\lim_{x\to2}\big(3x^{2}-2x+1\big) =3\lim_{x\to2}x^{2}-2\lim_{x\to2}x+\lim_{x\to2}1.
Agora usamos que \lim_{x\to2}x=2, portanto \lim_{x\to2}x^{2}=2^{2}=4, e \lim_{x\to2}1=1. Substituindo:
3\cdot 4 -2\cdot 2 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9.
Logo
\lim_{x\to2} f(x)=9.

Passo 5

Calcular o valor da função em x=2 (substituição direta):
f(2)=3\cdot 2^{2}-2\cdot 2 + 1 = 3\cdot 4 - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9.

Passo 6

Comparação final e conclusão didática:
Encontramos \lim_{x\to2} f(x)=9 e f(2)=9. Como o limite quando x\to2 existe e é igual ao valor da função no ponto, pela definição, f é contínua em x=2.
Observação útil para prova: polinômios (como 3x^{2}-2x+1) são contínuos em todo \mathbb{R}, então sempre que a função for um polinômio pode-se concluir continuidade em qualquer ponto por essa propriedade.

Resposta

A função é contínua em x=2 porque \lim_{x\to2} f(x)=f(2)=9.

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