Verifique se as funções são contínuas no ponto indicado:
em
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para verificar se ela é contínua no ponto
.
Informações dadas:
- A expressão de
é . - O ponto onde queremos verificar a continuidade é
.
O que se pede:
- Determinar se
é contínua em , ou seja, verificar se .
Passo 2
Definição de continuidade num ponto (explicada devagar):
Uma função é contínua em
quando satisfaz três coisas juntas, que na prática se reduzem a uma condição simples:
Uma função
Isso significa: ao aproximarmos
de
, os valores de
aproximam-se do valor que a própria função toma em
. Se a igualdade acima vale, então não há “buraco”, “salto” ou “infinito” no ponto — a função é contínua ali.
Passo 3
Regras de limites que vamos usar (explicadas):
- Se
e existem, então
- Para constante
,
- E para produto,
Também usamos que a função identidade
satisfaz
, e portanto
.
Essas regras permitem calcular limites de polinômios por substituição direta, porque polinômios são combinações de somas, produtos e constantes.
Passo 4
Calcular o limite
passo a passo:
Aplicando as regras de limites (linearidade e fator constante),
Agora usamos que
, portanto
, e
. Substituindo:
Logo
Passo 5
Calcular o valor da função em
(substituição direta):
Passo 6
Comparação final e conclusão didática:
Encontramos e
. Como o limite quando
existe e é igual ao valor da função no ponto, pela definição,
é contínua em
.
Encontramos
Observação útil para prova: polinômios (como
) são contínuos em todo
, então sempre que a função for um polinômio pode-se concluir continuidade em qualquer ponto por essa propriedade.
Resposta
A função é contínua em
porque
.