Verifique se as funções seguintes têm mínimo ou máximo global (absoluto) no plano xy.
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se a função
, definida em todo o plano
, possui um mínimo global (o menor valor que a função atinge em todo o domínio) ou um máximo global (o maior valor). Vamos usar conceitos de extremos globais em funções de duas variáveis.
Passo 2
Para identificar um mínimo global, lembramos da definição: um ponto
é mínimo global de
se, para todo
em
, vale
De modo semelhante, um máximo global exigiria
para todos os pontos.
Passo 3
Observamos que, para quaisquer
e
, temos
e
. Portanto
Passo 4
O valor mínimo possível de
é 0, e isso ocorre sempre que
, ou seja, quando
ou
. Logo, 0 é o mínimo global e é atingido ao longo dos eixos.
Passo 5
Para verificar o máximo global, notar que se fizermos, por exemplo,
, então
. Não existe, portanto, um valor máximo finito que limite
por cima em todo o domínio. Assim, não há máximo global.
Resposta
A função tem mínimo global igual a 0, atingido sempre que x=0 ou y=0, e não possui máximo global.