Verifique se as funções seguintes têm mínimo ou máximo global (absoluto) no plano xy.
f(x, y)=x^2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se a função f(x,y)=x^2y^2, definida em todo o plano R^2, possui um mínimo global (o menor valor que a função atinge em todo o domínio) ou um máximo global (o maior valor). Vamos usar conceitos de extremos globais em funções de duas variáveis.

Passo 2

Para identificar um mínimo global, lembramos da definição: um ponto (x0,y0) é mínimo global de f se, para todo (x,y) em R^2, vale f(x,y) >= f(x0,y0) De modo semelhante, um máximo global exigiria f(x,y) <= f(x0,y0) para todos os pontos.

Passo 3

Observamos que, para quaisquer x e y, temos x^2>=0 e y^2>=0. Portanto
f(x,y)=x^2y^2>=0

Passo 4

O valor mínimo possível de f(x,y) é 0, e isso ocorre sempre que x^2y^2=0, ou seja, quando x=0 ou y=0. Logo, 0 é o mínimo global e é atingido ao longo dos eixos.

Passo 5

Para verificar o máximo global, notar que se fizermos, por exemplo, x=yto +infty, então f(x,x)=x^4to +infty. Não existe, portanto, um valor máximo finito que limite f(x,y) por cima em todo o domínio. Assim, não há máximo global.

Resposta

A função tem mínimo global igual a 0, atingido sempre que x=0 ou y=0, e não possui máximo global.

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