Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar os extremos de f(x,y)=xy sob a restrição x²+2y² ≤1, usando multiplicadores de Lagrange. O que precisamos: entender que há extremos no interior (onde a restrição não está ativa) e na fronteira x²+2y²=1; e aplicar o método de Lagrange pra captar os candidatos na fronteira.
Passo 2
Primeiro, buscamos pontos críticos no interior do elipse, ignorando a restrição. A condição é ∇f=0, ou seja y=0 e x=0. Logo o único ponto interior é (0,0) e f(0,0)=0.
Passo 3
Agora vamos à fronteira, onde x²+2y²=1 está ativa. Definimos a função de Lagrange
As equações de primeira ordem são:
Passo 4
Das duas primeiras equações obtemos y=2\lambda x e x=4\lambda y. Substituindo a primeira na segunda, chega-se a x=8\lambda^2 x, o que dá duas possibilidades: x=0 ou 8\lambda^2=1. Se x=0 então da restrição 2y²=1 segue y=±1/√2 e f=0.
Passo 5
Para 8\lambda^2=1, temos \lambda=±1/(2√2). Então y=2\lambda x=±x/√2. Substituindo na restrição x²+2(y²)=x²+2(x²/2)=2x²=1, obtemos x=±1/√2 e y=±1/2 (o sinal de y acompanha o de \lambda). Assim surgem quatro pontos: (1/√2,1/2),(-1/√2,-1/2),(1/√2,-1/2),(-1/√2,1/2).
Passo 6
Por fim, avaliamos f=xy nos candidatos: em (±1/√2,±1/2) com sinais iguais f=1/(2√2), que é o máximo; em (±1/√2,∓1/2) com sinais opostos f=-1/(2√2), que é o mínimo; os demais dão f=0.
Passo 7
Logo, o máximo de f é 1/(2√2) e o mínimo é -1/(2√2), obtidos nos pontos mencionados.
Resposta
Máximo de f(x,y)=xy é 1/(2√2), nos pontos (1/√2,1/2) e (−1/√2,−1/2). Mínimo de f(x,y)=xy é −1/(2√2), nos pontos (1/√2,−1/2) e (−1/√2,1/2).