Verifique que as funções
a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada
correspondente. Escreva a função holomorfa
.
Passo 1
A função dada é u(x,y)=
. O objetivo é verificar que ela satisfaz a equação de Laplace (ou seja, é harmônica) e em seguida determinar a função harmônica conjugada v(x,y) de modo que f(z)=u(x,y)+jv(x,y) seja holomorfa. Vamos usar teoria de funções harmônicas e condições de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Para checar que u é harmônica, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem e mostramos que a soma delas é zero. Primeiro, as derivadas de primeira ordem:
e
. Em seguida, as derivadas de segunda ordem:
e
. Logo,
o que prova que u é harmônica.
Passo 3
Para achar a função conjugada v, usamos as condições de Cauchy–Riemann:
e
. A partir de
, integramos em relação a y:
onde h(x) é função arbítrária. Depois, impondo
Passo 4
Por fim, escrevemos a função holomorfa f(z)=u+jv:
Passo 5
Reconhecendo a forma de
, notamos que
Resposta
A conjugada harmônica é
e a função holomorfa pode ser escrita como
, ou de forma compacta
.