Verifique que as funções a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada correspondente. Escreva a função holomorfa .

Passo 1

A função dada é u(x,y)= sinh xsin y. O objetivo é verificar que ela satisfaz a equação de Laplace (ou seja, é harmônica) e em seguida determinar a função harmônica conjugada v(x,y) de modo que f(z)=u(x,y)+jv(x,y) seja holomorfa. Vamos usar teoria de funções harmônicas e condições de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Para checar que u é harmônica, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem e mostramos que a soma delas é zero. Primeiro, as derivadas de primeira ordem: ux=cosh xsin y e uy=sinh xcos y. Em seguida, as derivadas de segunda ordem: uxx=sinh xsin y e uyy=-sinh xsin y. Logo,
uxx+uyy=sinh xsin y - sinh xsin y=0,
o que prova que u é harmônica.

Passo 3

Para achar a função conjugada v, usamos as condições de Cauchy–Riemann:
ux=vy e uy=-vx. A partir de ux=cosh xsin y, integramos em relação a y:
v(x,y)=integral cosh xsin y,dy=-cosh xcos y + h(x),
onde h(x) é função arbítrária. Depois, impondo uy=-vx, temos sinh xcos y=-l(-sinh xcos y + h'(x)r), o que leva a h'(x)=0. Assim, podemos tomar h(x)=0 e obter
v(x,y)=-cosh xcos y

Passo 4

Por fim, escrevemos a função holomorfa f(z)=u+jv:
f(z)=sinh xsin y - jcosh xcos y

Passo 5

Reconhecendo a forma de cosh(x+jy), notamos que
f(z)=-jcosh z

Resposta

A conjugada harmônica é v(x,y)=-cosh xcos y e a função holomorfa pode ser escrita como f(z)=sinh xsin y - jcosh xcos y, ou de forma compacta f(z)=-jcosh z.

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