Se T representa o vetor tangente unitário, N o vetor normal unitário, so parâmetro comprimento de arco, kappa a curvatura e nu o módulo da velocidade de uma partícula P percorrendo uma curva dada por r(t); sabendo que T^prime(s)=kappa N(s) e r^prime prime(t)=d^2 sd t^2 T(s)+(d sd t)^2 kappa N(s), , obtenha a expressão
r^prime prime(t)=d nud t T(s)+nu^2 kappa N(s)
ou equivalentemente
r^prime(t)=d sd t T(s)
derivando a equação s=s(t)]. [Dica: Use a regra da cadeia e a regra do produto, lembre-se r^prime prime(t). A expressão 0.3 nos dá a aceleração d nu / d t em termos de sua componente normal nu^2 kappa (taxa de variação do módulo da velocidade com respeito ao tempo) e tangencial .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos uma partícula que se move numa curva descrita por r(t), com parâmetro de comprimento de arco s(t). Definimos o vetor tangente unitário T(s), o vetor normal unitário N(s), a curvatura kappa(s) e a velocidade escalar nu=|r'(t)|=ds/dt. Queremos obter a aceleração r''(t) em termos das componentes tangencial e normal, usando as regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a velocidade vetorial como produto entre a taxa de variação do arco e o vetor tangente:
r'(t)=dsdt,T(s(t))
Aplicamos a regra do produto para diferenciar r'(t):
r'(t)=ddtgl(dsdtgr)T(s)+dsdt,ddtl[T(s(t))r]
Para o segundo termo, usamos a regra da cadeia:
ddtl[T(s(t))r]=dTdsdsdt

Passo 3

Como dT/ds=kappaN, isso dá
ddtl[T(s(t))r]=kappaN(s)dsdt

Passo 4

Substituindo de volta em r''(t) e lembrando que d^2s/dt^2= dnu/dt e ds/dt=nu, obtemos
r"(t)=d^2sdt^2,T(s)+l(dsdtr)^2kappaN(s)
e, em termos de nu, fica
r"(t)=dnudt,T(s)+nu^2kappaN(s)

Resposta

r''(t)=d^2sdt^2T(s)+l(dsdtr)^2kappaN(s), equivalentemente r''(t)=dnudtT(s)+nu^2kappaN(s).

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