Se
representa o vetor tangente unitário,
o vetor normal unitário, so parâmetro comprimento de arco,
a curvatura e
o módulo da velocidade de uma partícula
percorrendo uma curva dada por
; sabendo que
e
, obtenha a expressão
ou equivalentemente
derivando a equação
. [Dica: Use a regra da cadeia e a regra do produto, lembre-se
. A expressão 0.3 nos dá a aceleração
em termos de sua componente normal
(taxa de variação do módulo da velocidade com respeito ao tempo) e tangencial
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: temos uma partícula que se move numa curva descrita por
, com parâmetro de comprimento de arco
. Definimos o vetor tangente unitário
, o vetor normal unitário
, a curvatura
e a velocidade escalar
. Queremos obter a aceleração
em termos das componentes tangencial e normal, usando as regras do produto e da cadeia.
Passo 2
Reescrevemos a velocidade vetorial como produto entre a taxa de variação do arco e o vetor tangente:
Aplicamos a regra do produto para diferenciar
Para o segundo termo, usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Como
, isso dá
Passo 4
Substituindo de volta em
e lembrando que
e
, obtemos
e, em termos de