Verifique se as funções T abaixo são transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, \quad T(x, y, z)=x-3 y+2 z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função T é uma transformação linear. Dados fornecidos:
  • Domínio e contradomínio: T: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}.
  • Regra de T: para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=x-3y+2z.
Pergunta clara: a função T satisfaz as condições que definem uma transformação linear?

Passo 2

Lembrete didático: definição de transformação linear. Uma aplicação T: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(A)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(B)}\quad T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
Aqui:
  • u e v são vetores da forma u=(x_1,y_1,z_1), v=(x_2,y_2,z_2).
  • \lambda é um número real.
    Para provar linearidade devemos verificar (A) e (B) para nossa T.

Passo 3

Verificação da propriedade aditividade (A). Tome u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Agora aplique T em u+v:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Pela regra de T,
T(u+v)=(x_1+x_2)-3(y_1+y_2)+2(z_1+z_2).

Passo 4

Continue a manipulação algébrica de T(u+v) para comparar com T(u)+T(v). Expanda os parênteses:
T(u+v)=x_1+x_2-3y_1-3y_2+2z_1+2z_2.
Agrupando termos correspondentes:
T(u+v)=(x_1-3y_1+2z_1)+(x_2-3y_2+2z_2).
Reconhecendo as expressões entre parênteses como T(u) e T(v), obtemos
T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto a propriedade (A) está verificada.

Passo 5

Verificação da propriedade de homogeneidade (B). Tome u=(x,y,z) e \lambda\in\mathbb{R}. Primeiro calcule \lambda u:
\lambda u=(\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z).
Aplique T a \lambda u:
T(\lambda u)=T(\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z)=\lambda x-3(\lambda y)+2(\lambda z).
Fatore \lambda da expressão:
T(\lambda u)=\lambda\bigl(x-3y+2z\bigr).
Mas x-3y+2z=T(x,y,z)=T(u). Assim
T(\lambda u)=\lambda\,T(u),
o que demonstra a propriedade (B).

Passo 6

Comentário didático extra (intuição): a função T é exatamente o produto escalar (dot product) com o vetor (1,-3,2), pois
T(x,y,z)=(1,-3,2)\cdot(x,y,z).
Produtos escalares com um vetor fixo são sempre transformações lineares — isso explica por que as duas propriedades se verificaram de forma tão direta.

Passo 7

Conclusão combinando os resultados: mostramos que T(u+v)=T(u)+T(v) para todo u,v e que T(\lambda u)=\lambda T(u) para todo \lambda e u. Essas duas propriedades são exatamente a definição de linearidade, portanto T é linear.

Resposta

T é uma transformação linear.

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