Verifique se as funções
abaixo são transformações lineares:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é uma transformação linear. Dados fornecidos:
- Domínio e contradomínio:
. - Regra de
: para ,
Pergunta clara: a função
satisfaz as condições que definem uma transformação linear?
Passo 2
Lembrete didático: definição de transformação linear. Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Aqui:
-
e são vetores da forma , . -
é um número real.
Para provar linearidade devemos verificar (A) e (B) para nossa.
Passo 3
Verificação da propriedade aditividade (A). Tome
e
. Primeiro calcule
:
Agora aplique
em
:
Pela regra de
,
Passo 4
Continue a manipulação algébrica de
para comparar com
. Expanda os parênteses:
Agrupando termos correspondentes:
Reconhecendo as expressões entre parênteses como
e
, obtemos
Portanto a propriedade (A) está verificada.
Passo 5
Verificação da propriedade de homogeneidade (B). Tome
e
. Primeiro calcule
:
Aplique
a
:
Fatore
da expressão:
Mas
. Assim
o que demonstra a propriedade (B).
Passo 6
Comentário didático extra (intuição): a função
é exatamente o produto escalar (dot product) com o vetor
, pois
Produtos escalares com um vetor fixo são sempre transformações lineares — isso explica por que as duas propriedades se verificaram de forma tão direta.
Passo 7
Conclusão combinando os resultados: mostramos que
para todo
e que
para todo
e
. Essas duas propriedades são exatamente a definição de linearidade, portanto
é linear.