Verifique se as funções T abaixo são transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad T(x, y, z)=(-x+2 z, y-x, 3 y-z)

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(-x+2z,\;y-x,\;3y-z).
O que se pede: verificar se T é uma transformação linear, ou seja, decidir se T satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade (esclarecerei essas propriedades nos passos seguintes).
Informações relevantes dadas:
  • A regra de associação de T a um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 está explicitada pelas três componentes acima.
  • Não há outras restrições nem parâmetros; x,y,z são números reais arbitrários.

Passo 2

Definição e o que vou checar (aula rápida e prática):
  • Uma aplicação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades: T(u+v)=T(u)+T(v)(aditividade) e T(cu)=c\,T(u)(homogeneidade).
  • Aqui u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) são vetores genéricos em \mathbb{R}^3; c é um número real. Vou verificar explicitamente as duas propriedades para a regra dada de T.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Seja u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando T a u+v,
T(u+v)=\bigl(-(x_1+x_2)+2(z_1+z_2),\;(y_1+y_2)-(x_1+x_2),\;3(y_1+y_2)-(z_1+z_2)\bigr).
Distribuindo os sinais e agrupando termos:
T(u+v)=\bigl(-x_1-x_2+2z_1+2z_2,\;y_1+y_2-x_1-x_2,\;3y_1+3y_2-z_1-z_2\bigr).
Agora escrevendo T(u) e T(v) separadamente:
T(u)=(-x_1+2z_1,\;y_1-x_1,\;3y_1-z_1),
T(v)=(-x_2+2z_2,\;y_2-x_2,\;3y_2-z_2).
Somando essas duas expressões componente a componente obtém-se
T(u)+T(v)=\bigl(-x_1-x_2+2z_1+2z_2,\;y_1+y_2-x_1-x_2,\;3y_1+3y_2-z_1-z_2\bigr),
que é exatamente o mesmo vetor que T(u+v). Logo a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(cu)=c\,T(u).
Seja u=(x_1,y_1,z_1) e c\in\mathbb{R}. Então c u=(c x_1, c y_1, c z_1). Aplicando T:
T(cu)=\bigl(-(c x_1)+2(c z_1),\;(c y_1)-(c x_1),\;3(c y_1)-(c z_1)\bigr).
Fatorando c em cada componente:
T(cu)=\bigl(c(-x_1+2z_1),\;c(y_1-x_1),\;c(3y_1-z_1)\bigr)=c\bigl(-x_1+2z_1,\;y_1-x_1,\;3y_1-z_1\bigr).
A última expressão é c\,T(u). Assim a propriedade de homogeneidade também vale.

Passo 5

Conclusão a partir das propriedades verificadas: como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para vetores e escalares arbitrários, T é uma transformação linear.
Observação curta e útil: como consequência imediata, T(0,0,0)=(0,0,0), o que é sempre verdade para qualquer transformação linear e serve como cheque rápido.

Passo 6

Representação matricial (uma outra forma de ver e lembrar na prova).
A transformação T pode ser escrita como produto de matriz por vetor. A matriz A cujas linhas são os coeficientes das componentes de T é
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Para v=(x,y,z)^\top vale T(v)=A\,v. Como multiplicação por matriz fixa é sempre uma transformação linear, isso é outra confirmação de que T é linear.]

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar e ganhar confiança):
Escolha u=(1,0,1) e v=(2,1,0).
  • Calcula-se T(u)=( -1+2\cdot1,\;0-1,\;3\cdot0-1)=(1,-1,-1).
  • Calcula-se T(v)=( -2+2\cdot0,\;1-2,\;3\cdot1-0)=(-2,-1,3).
  • Soma: T(u)+T(v)=(-1,-2,2).
Agora u+v=(3,1,1) e
T(u+v)=(-3+2\cdot1,\;1-3,\;3\cdot1-1)=(-1,-2,2),
igual a T(u)+T(v). Funciona — exemplo concreto confirmando a aditividade.

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.

Exercícios relacionados