Verifique se as funções T abaixo são transformações lineares: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad T(x, y, z)=(-x+2 z, y-x, 3 y-z)
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(-x+2z,\;y-x,\;3y-z).
O que se pede: verificar se T é uma transformação linear, ou seja, decidir se T satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade (esclarecerei essas propriedades nos passos seguintes).
Informações relevantes dadas:
A regra de associação de T a um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 está explicitada pelas três componentes acima.
Não há outras restrições nem parâmetros; x,y,z são números reais arbitrários.
Passo 2
Definição e o que vou checar (aula rápida e prática):
Uma aplicação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:T(u+v)=T(u)+T(v)(aditividade) eT(cu)=c\,T(u)(homogeneidade).
Aqui u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) são vetores genéricos em \mathbb{R}^3; c é um número real. Vou verificar explicitamente as duas propriedades para a regra dada de T.
A última expressão é c\,T(u). Assim a propriedade de homogeneidade também vale.
Passo 5
Conclusão a partir das propriedades verificadas: como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para vetores e escalares arbitrários, T é uma transformação linear.
Observação curta e útil: como consequência imediata, T(0,0,0)=(0,0,0), o que é sempre verdade para qualquer transformação linear e serve como cheque rápido.
Passo 6
Representação matricial (uma outra forma de ver e lembrar na prova).
A transformação T pode ser escrita como produto de matriz por vetor. A matriz A cujas linhas são os coeficientes das componentes de T é