Verifique que as funções y_{1}=e^{x}, y_{2}=e^{-x}, y_{3}=\cos x, y_{4}=\sin x formam um conjunto fundamental de soluções para a equação:
y^{(4)}-y=0
e calcule seu wronskiano.
Passo 1
O enunciado dá as quatro funções
y_{1}=e^{x},\quad y_{2}=e^{-x},\quad y_{3}=\cos x,\quad y_{4}=\sin x
e a equação diferencial homogênea
y^{(4)}-y=0.
Pede-se:
verificar que cada uma das quatro funções é uma solução da equação;
mostrar que elas formam um conjunto fundamental de soluções (isto é, são quatro soluções linearmente independentes que fornecem a base do espaço de soluções de ordem 4);
calcular o wronskiano W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})(x).
As informações relevantes dadas são exatamente as quatro funções e a equação diferencial de ordem 4. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Verificamos que cada função satisfaz a equação, calculando a quarta derivada e substituindo em y^{(4)}-y.
Assim, todas as quatro funções são soluções da equação dada.
Passo 3
Explico o que precisamos para afirmar que elas formam um conjunto fundamental. Um conjunto de quatro soluções de uma equação linear homogênea de ordem 4 é “fundamental” se for linearmente independente (essas quatro soluções formam uma base do espaço solução, que tem dimensão 4). Uma forma prática de verificar independência linear é calcular o wronskiano. Se o wronskiano
W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})(x)
for diferente de zero em algum ponto x_{0}, então as funções são linearmente independentes em todo intervalo onde a equação tem coeficientes contínuos. Aqui, a equação tem coeficientes constantes, então basta mostrar W\not\equiv 0 (ou W(x_{0})\neq 0 para algum x_{0}).
Primeiro escrevemos a matriz do wronskiano com as derivadas já calculadas:
\begin{pmatrix} e^{x} & e^{-x} & \cos x & \sin x \\\ e^{x} & -e^{-x} & -\sin x & \cos x \\\ e^{x} & e^{-x} & -\cos x & -\sin x \\\ e^{x} & -e^{-x} & \sin x & -\cos x \end{pmatrix}.
Note que podemos fatorar e^{x} da primeira coluna e e^{-x} da segunda coluna; o determinante será multiplicado por e^{x}\cdot e^{-x}=1. Assim o wronskiano é igual ao determinante da matriz equivalente em que as duas primeiras colunas ficam com fatores exponenciais retirados:
W(x)= \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cos x & \sin x \\\\ 1 & -1 & -\sin x & \cos x \\\\ 1 & 1 & -\cos x & -\sin x \\\\ 1 & -1 & \sin x & -\cos x \end{pmatrix}.
Agora fazemos operações de linha para simplificar o cálculo (operações elementares de linha não alteram o valor do determinante se usadas de forma apropriada; aqui subtraímos a primeira linha das outras três, o que preserva o determinante):
Assim o determinante se reduz ao produto do elemento 1 (primeiro elemento da primeira linha) pelo determinante do bloco 3\times 3 formado pelas colunas 2–4 e linhas 2–4:
W(x)= \det \begin{pmatrix} -2 & -\sin x-\cos x & \cos x-\sin x \\\\ 0 & -2\cos x & -2\sin x \\\\ -2 & \sin x-\cos x & -\cos x-\sin x \end{pmatrix}.
Para simplificar a notação, chame a=\sin x e b=\cos x. O bloco fica
Como as operações que fizemos preservaram o determinante inicial (fator exponencial já eliminado por se anular) obtemos
W(x)=-8\quad\text{para todo }x.
Em particular W(x) é diferente de zero em qualquer ponto (por exemplo W(0)=-8), o que prova que as quatro soluções são linearmente independentes.
Passo 5
Concluímos que as quatro funções são soluções da equação e que o wronskiano é não nulo (constante igual a -8); por isso as quatro funções formam um conjunto fundamental de soluções para a equação de ordem 4 (espaço solução tem dimensão 4). Uma observação alternativa curta: a equação tem polinômio característico r^{4}-1=0 com raízes r=1,-1,i,-i, cujas soluções correspondentes são e^{x},e^{-x},e^{ix},e^{-ix}; combinando e^{ix} e e^{-ix} obtemos \cos x e \sin x, o que confirma que as quatro funções são exatamente as quatro soluções fundamentais associadas às quatro raízes distintas.
Resposta
As funções formam um conjunto fundamental de soluções para y^{(4)}-y=0.\nO wronskiano é W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})(x)=-8.