Verifique que as funções y_{1}=e^{x}, y_{2}=e^{-x}, y_{3}=\cos x, y_{4}=\sin x formam um conjunto fundamental de soluções para a equação:
y^{(4)}-y=0
e calcule seu wronskiano.

Passo 1

O enunciado dá as quatro funções
y_{1}=e^{x},\quad y_{2}=e^{-x},\quad y_{3}=\cos x,\quad y_{4}=\sin x
e a equação diferencial homogênea
y^{(4)}-y=0.
Pede-se:
  1. verificar que cada uma das quatro funções é uma solução da equação;
  2. mostrar que elas formam um conjunto fundamental de soluções (isto é, são quatro soluções linearmente independentes que fornecem a base do espaço de soluções de ordem 4);
  3. calcular o wronskiano W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})(x).
As informações relevantes dadas são exatamente as quatro funções e a equação diferencial de ordem 4. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Verificamos que cada função satisfaz a equação, calculando a quarta derivada e substituindo em y^{(4)}-y.
Para y_{1}(x)=e^{x}:
y_{1}'=e^{x},\quad y_{1}''=e^{x},\quad y_{1}'''=e^{x},\quad y_{1}^{(4)}=e^{x}.
Logo
y_{1}^{(4)}-y_{1}=e^{x}-e^{x}=0,
portanto y_{1} é solução.
Para y_{2}(x)=e^{-x}:
y_{2}'=-e^{-x},\quad y_{2}''=e^{-x},\quad y_{2}'''=-e^{-x},\quad y_{2}^{(4)}=e^{-x}.
Logo
y_{2}^{(4)}-y_{2}=e^{-x}-e^{-x}=0,
portanto y_{2} é solução.
Para y_{3}(x)=\cos x:
y_{3}'=-\sin x,\quad y_{3}''=-\cos x,\quad y_{3}'''=\sin x,\quad y_{3}^{(4)}=\cos x.
Logo
y_{3}^{(4)}-y_{3}=\cos x-\cos x=0,
portanto y_{3} é solução.
Para y_{4}(x)=\sin x:
y_{4}'=\cos x,\quad y_{4}''=-\sin x,\quad y_{4}'''=-\cos x,\quad y_{4}^{(4)}=\sin x.
Logo
y_{4}^{(4)}-y_{4}=\sin x-\sin x=0,
portanto y_{4} é solução.
Assim, todas as quatro funções são soluções da equação dada.

Passo 3

Explico o que precisamos para afirmar que elas formam um conjunto fundamental. Um conjunto de quatro soluções de uma equação linear homogênea de ordem 4 é “fundamental” se for linearmente independente (essas quatro soluções formam uma base do espaço solução, que tem dimensão 4). Uma forma prática de verificar independência linear é calcular o wronskiano. Se o wronskiano
W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})(x)
for diferente de zero em algum ponto x_{0}, então as funções são linearmente independentes em todo intervalo onde a equação tem coeficientes contínuos. Aqui, a equação tem coeficientes constantes, então basta mostrar W\not\equiv 0 (ou W(x_{0})\neq 0 para algum x_{0}).
O wronskiano é definido por
W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})(x)= \det \begin{pmatrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \\\ y_{1}' & y_{2}' & y_{3}' & y_{4}' \\\ y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}'' & y_{4}'' \\\ y_{1}''' & y_{2}''' & y_{3}''' & y_{4}''' \end{pmatrix}.
Vamos calcular esse determinante explicitamente.

Passo 4

Primeiro escrevemos a matriz do wronskiano com as derivadas já calculadas:
\begin{pmatrix} e^{x} & e^{-x} & \cos x & \sin x \\\ e^{x} & -e^{-x} & -\sin x & \cos x \\\ e^{x} & e^{-x} & -\cos x & -\sin x \\\ e^{x} & -e^{-x} & \sin x & -\cos x \end{pmatrix}.
Note que podemos fatorar e^{x} da primeira coluna e e^{-x} da segunda coluna; o determinante será multiplicado por e^{x}\cdot e^{-x}=1. Assim o wronskiano é igual ao determinante da matriz equivalente em que as duas primeiras colunas ficam com fatores exponenciais retirados:
W(x)= \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cos x & \sin x \\\\ 1 & -1 & -\sin x & \cos x \\\\ 1 & 1 & -\cos x & -\sin x \\\\ 1 & -1 & \sin x & -\cos x \end{pmatrix}.
Agora fazemos operações de linha para simplificar o cálculo (operações elementares de linha não alteram o valor do determinante se usadas de forma apropriada; aqui subtraímos a primeira linha das outras três, o que preserva o determinante):
\begin{aligned} R_{2}&\leftarrow R_{2}-R_{1} \quad\Rightarrow\quad [0,\,-2,\,-\sin x-\cos x,\;\cos x-\sin x],\\\ R_{3}&\leftarrow R_{3}-R_{1} \quad\Rightarrow\quad [0,\,0,\,-2\cos x,\;-2\sin x],\\\ R_{4}&\leftarrow R_{4}-R_{1} \quad\Rightarrow\quad [0,\,-2,\;\sin x-\cos x,\;- \cos x-\sin x]. \end{aligned}
Assim o determinante se reduz ao produto do elemento 1 (primeiro elemento da primeira linha) pelo determinante do bloco 3\times 3 formado pelas colunas 2–4 e linhas 2–4:
W(x)= \det \begin{pmatrix} -2 & -\sin x-\cos x & \cos x-\sin x \\\\ 0 & -2\cos x & -2\sin x \\\\ -2 & \sin x-\cos x & -\cos x-\sin x \end{pmatrix}.
Para simplificar a notação, chame a=\sin x e b=\cos x. O bloco fica
B= \begin{pmatrix} -2 & -a-b & b-a \\\\ 0 & -2b & -2a \\\\ -2 & a-b & -b-a \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante por expansão pela primeira coluna:
\det B = (-2)\det\begin{pmatrix}-2b & -2a \\\ a-b & -b-a\end{pmatrix} \;+\;(-2)\det\begin{pmatrix}-a-b & b-a \\\\ -2b & -2a\end{pmatrix}.
Agora cada um desses determinantes 2\times 2 simplifica usando a^{2}+b^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Cálculos detalhados:
Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}-2b & -2a \\\ a-b & -b-a\end{pmatrix} =(-2b)(-b-a)-(-2a)(a-b)=2(b^{2}+ab)+2a(a-b)=2(a^{2}+b^{2})=2.
Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}-a-b & b-a \\\\ -2b & -2a\end{pmatrix} =(-a-b)(-2a)-(b-a)(-2b)=2a(a+b)+2b(b-a)=2(a^{2}+b^{2})=2.
Portanto
\det B = (-2)\cdot 2 + (-2)\cdot 2 = -4 -4 = -8.
Como as operações que fizemos preservaram o determinante inicial (fator exponencial já eliminado por se anular) obtemos
W(x)=-8\quad\text{para todo }x.
Em particular W(x) é diferente de zero em qualquer ponto (por exemplo W(0)=-8), o que prova que as quatro soluções são linearmente independentes.

Passo 5

Concluímos que as quatro funções são soluções da equação e que o wronskiano é não nulo (constante igual a -8); por isso as quatro funções formam um conjunto fundamental de soluções para a equação de ordem 4 (espaço solução tem dimensão 4). Uma observação alternativa curta: a equação tem polinômio característico r^{4}-1=0 com raízes r=1,-1,i,-i, cujas soluções correspondentes são e^{x},e^{-x},e^{ix},e^{-ix}; combinando e^{ix} e e^{-ix} obtemos \cos x e \sin x, o que confirma que as quatro funções são exatamente as quatro soluções fundamentais associadas às quatro raízes distintas.

Resposta

As funções formam um conjunto fundamental de soluções para y^{(4)}-y=0.\nO wronskiano é W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})(x)=-8.

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