Resolva a equação diferencial:
y^{(4)}+8 y^{\prime \prime}+16 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{(4)}+8y^{\prime\prime}+16y=0
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes: é uma equação linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes; a incógnita é a função y de variável x. Não começamos a resolver aqui, só identificamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Tentamos uma solução do tipo exponencial \;y=e^{rx}\; (essa é uma tentativa padrão para equações com coeficientes constantes porque derivar e^{rx} só traz fatores r). Vamos ver o que acontece com as derivadas:
y = e^{rx},\quad y' = r e^{rx},\quad y'' = r^{2} e^{rx},\quad y^{(4)} = r^{4} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial e fatorando e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a equação característica
r^{4}+8r^{2}+16=0.

Passo 3

Para resolver a equação característica é conveniente fazer a substituição \;s=r^{2}\;. Então
s^{2}+8s+16=0.
Calculamos o discriminante: \Delta=8^{2}-4\cdot1\cdot16=64-64=0. Logo a quadrática tem raiz dupla
s=-4,
ou seja (s+4)^{2}=0. Revertendo a substituição, r^{2}=-4, portanto
r=\pm 2i.
Como s=-4 era raiz dupla, o fator (r^{2}+4) aparece ao quadrado na fatoração do polinômio característico, ou seja
r^{4}+8r^{2}+16=(r^{2}+4)^{2},
portanto as raízes r=2i e r=-2i ocorrem cada uma com multiplicidade 2.

Passo 4

Agora vamos transformar essa informação sobre raízes em soluções reais da equação diferencial. Relembre duas regras importantes (vou explicar por quê):
  • Se r=\alpha\pm i\beta é um par de raízes simples (multiplicidade 1), então as duas soluções reais associadas são \;e^{\alpha x}\cos(\beta x)\; e \;e^{\alpha x}\sin(\beta x)\;.
  • Se esse par de raízes complexas tem multiplicidade m>1, então além das soluções acima surgem soluções multiplicadas por potências de x: x e^{\alpha x}\cos(\beta x), x e^{\alpha x}\sin(\beta x), e se m\ge3 haveria x^{2}e^{\alpha x}\cos(\beta x), etc. Isso é análogo ao caso real: para raiz real repetida r com multiplicidade m temos e^{rx}, x e^{rx}, x^{2}e^{rx},\dots.
Aplicando aqui: as raízes são \alpha=0 e \beta=2 com multiplicidade 2. Então as soluções fundamentais reais são
\cos(2x),\quad \sin(2x),\quad x\cos(2x),\quad x\sin(2x).
Breve justificativa por que aparece o fator x: como (r^{2}+4)^{2} anula o polinômio característico, o operador diferencial correspondente anula também as funções obtidas multiplicando as soluções do caso simples por x. Na prática, isso garante quatro soluções linearmente independentes para a ordem 4.

Passo 5

Como essas quatro funções são linearmente independentes (é padrão para raízes distintas ou pares repetidos desse tipo), a solução geral é combinação linear delas com constantes arbitrárias. Escrevendo constantes \;C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}\;, a solução geral é
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\cos(2x)+(C_{3}+C_{4}x)\sin(2x).

Passo 6

Um chequinho rápido: para \cos(2x) temos \;D^{2}\cos(2x)=-4\cos(2x) e \;D^{4}\cos(2x)=16\cos(2x). Substituindo no operador dá 16+8(-4)+16=0, logo \cos(2x) satisfaz a equação. A presença do quadrado (r^{2}+4)^{2} explica por que também x\cos(2x) é solução (o operador aplicado a x\cos(2x) também dá zero, devido à repetição da raiz). Assim tudo está consistente.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\cos(2x)+(C_{3}+C_{4}x)\sin(2x)

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