Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes: é uma equação linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes; a incógnita é a função
de variável
. Não começamos a resolver aqui, só identificamos o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Tentamos uma solução do tipo exponencial
(essa é uma tentativa padrão para equações com coeficientes constantes porque derivar
só traz fatores
). Vamos ver o que acontece com as derivadas:
Substituindo na equação diferencial e fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica
Passo 3
Para resolver a equação característica é conveniente fazer a substituição
. Então
Calculamos o discriminante:
. Logo a quadrática tem raiz dupla
ou seja
. Revertendo a substituição,
, portanto
Como
era raiz dupla, o fator
aparece ao quadrado na fatoração do polinômio característico, ou seja
portanto as raízes
e
ocorrem cada uma com multiplicidade
.
Passo 4
Agora vamos transformar essa informação sobre raízes em soluções reais da equação diferencial. Relembre duas regras importantes (vou explicar por quê):
- Se
é um par de raízes simples (multiplicidade ), então as duas soluções reais associadas são e . - Se esse par de raízes complexas tem multiplicidade
, então além das soluções acima surgem soluções multiplicadas por potências de : , , e se haveria , etc. Isso é análogo ao caso real: para raiz real repetida com multiplicidade temos .
Aplicando aqui: as raízes são
e
com multiplicidade
. Então as soluções fundamentais reais são
Breve justificativa por que aparece o fator
: como
anula o polinômio característico, o operador diferencial correspondente anula também as funções obtidas multiplicando as soluções do caso simples por
. Na prática, isso garante quatro soluções linearmente independentes para a ordem
.
Passo 5
Como essas quatro funções são linearmente independentes (é padrão para raízes distintas ou pares repetidos desse tipo), a solução geral é combinação linear delas com constantes arbitrárias. Escrevendo constantes
, a solução geral é
Passo 6
Um chequinho rápido: para
temos
e
. Substituindo no operador dá
, logo
satisfaz a equação. A presença do quadrado
explica por que também
é solução (o operador aplicado a
também dá zero, devido à repetição da raiz). Assim tudo está consistente.