Determine a solução do problema de valor inicial:
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=-1

Passo 1

O problema pede a solução da equação diferencial com condições iniciais:
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=0,
com
y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=0,\qquad y^{\prime\prime}(0)=-1.
Aqui estão todas as informações relevantes: a equação diferencial de ordem três e as três condições iniciais em x=0. A partir daqui vamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as condições.

Passo 2

Vamos procurar soluções da forma exponencial y=e^{rx}. Por que isso? Porque, quando a equação tem coeficientes constantes, funções exponenciais transformam derivadas em multiplicação por constantes — isso torna a equação algébrica em r. Para ver como funciona, calcule as derivadas de y=e^{rx}:
y^{\prime}=r e^{rx},\qquad y^{\prime\prime}=r^{2} e^{rx},\qquad y^{\prime\prime\prime}=r^{3} e^{rx}.
Substituindo na equação \,y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=0\, obtemos:
r^{3} e^{rx} - r e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter o polinômio característico
r^{3}-r=0.

Passo 3

Agora resolvemos o polinômio característico:
r^{3}-r = r(r^{2}-1)= r(r-1)(r+1)=0.
As raízes são
r=0,\quad r=1,\quad r=-1.
Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{0x}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes a determinar pelas condições iniciais. Nota rápida: cada termo é linearmente independente, por isso precisamos de três constantes para a solução geral de uma ODE de terceira ordem.

Passo 4

Calculemos y^{\prime} e y^{\prime\prime} a partir da solução geral (explicando o uso da regra: a derivada de e^{ax} é a e^{ax}):
y^{\prime}(x)=C_{2}e^{x}-C_{3}e^{-x},
y^{\prime\prime}(x)=C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}.
Agora imponha as condições iniciais em x=0. Como e^{0}=1, obtemos o sistema:
y(0)=C_{1}+C_{2}+C_{3}=1,
y^{\prime}(0)=C_{2}-C_{3}=0,
y^{\prime\prime}(0)=C_{2}+C_{3}=-1.

Passo 5

Resolvendo o sistema passo a passo. Da segunda equação C_{2}-C_{3}=0 segue que
C_{2}=C_{3}.
Substituindo na terceira equação C_{2}+C_{3}=-1
2C_{2}=-1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\tfrac{1}{2}.
Logo C_{3}=-\tfrac{1}{2}. Use agora a primeira equação C_{1}+C_{2}+C_{3}=1:
C_{1}-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}-1=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=2.

Passo 6

Substituindo as constantes na solução geral obtemos
y(x)=2-\tfrac{1}{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{-x}.
É comum e mais compacto usar a função cosseno hiperbólico \operatorname{cosh}, lembrando a identidade
\operatorname{cosh} x=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr).
Assim a solução simplifica para
y(x)=2-\operatorname{cosh} x.
Vamos checar rápido as condições iniciais: \operatorname{cosh} 0=1 então y(0)=2-1=1; derivando y'(x)=-\operatorname{sinh} x y'(0)=0; y''(x)=-\operatorname{cosh} x y''(0)=-1. Tudo confere — está correta. Força aí, você já chegou na resposta!

Resposta

y(x)=2-\operatorname{cosh} x

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