Determine a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
O problema pede a solução da equação diferencial com condições iniciais:
com
Aqui estão todas as informações relevantes: a equação diferencial de ordem três e as três condições iniciais em
. A partir daqui vamos encontrar a função
que satisfaz a equação e as condições.
Passo 2
Vamos procurar soluções da forma exponencial
. Por que isso? Porque, quando a equação tem coeficientes constantes, funções exponenciais transformam derivadas em multiplicação por constantes — isso torna a equação algébrica em
. Para ver como funciona, calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação
obtemos:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter o polinômio característico
Passo 3
Agora resolvemos o polinômio característico:
As raízes são
Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais. Nota rápida: cada termo é linearmente independente, por isso precisamos de três constantes para a solução geral de uma ODE de terceira ordem.
Passo 4
Calculemos
e
a partir da solução geral (explicando o uso da regra: a derivada de
é
):
Agora imponha as condições iniciais em
. Como
, obtemos o sistema:
Passo 5
Resolvendo o sistema passo a passo. Da segunda equação
segue que
Substituindo na terceira equação
dá
Logo
. Use agora a primeira equação
:
Passo 6
Substituindo as constantes na solução geral obtemos
É comum e mais compacto usar a função cosseno hiperbólico
, lembrando a identidade
Assim a solução simplifica para
Vamos checar rápido as condições iniciais:
então
; derivando
dá
;
dá
. Tudo confere — está correta. Força aí, você já chegou na resposta!