1. Verifique se o gradiente de f(x, y)=x^{2}+4 y^{2} no ponto (2,1) é paralelo ao vetor \langle 1,2\rangle.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Função: f(x,y)=x^{2}+4y^{2}.
  • Ponto onde avaliar o gradiente: (2,1).
  • Vetor com o qual verificar paralelismo: \langle 1,2\rangle.
O pedido é: verificar se o gradiente de f no ponto (2,1) é paralelo ao vetor \langle 1,2\rangle.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculamos: o gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Em símbolos,
\nabla f(x,y)=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle.
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa a derivada de f em relação a x mantendo y fixa, e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada de f em relação a y mantendo x fixa. Isso dá um vetor que aponta na direção de máxima taxa de aumento de f.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+4y^{2}:
  • Derivada parcial em relação a x: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x; o termo 4y^{2} é tratado como constante em x e sua derivada é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=2x.
  • Derivada parcial em relação a y: a derivada de 4y^{2} em relação a y é 8y; o termo x^{2} é constante em y e sua derivada é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=8y.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\langle 2x,\,8y\rangle.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (2,1). Substituindo x=2 e y=1:
\nabla f(2,1)=\langle 2\cdot 2,\;8\cdot 1\rangle=\langle 4,8\rangle.

Passo 5

Critério de paralelismo em \mathbb{R}^{2}: dois vetores \langle a,b\rangle e \langle c,d\rangle são paralelos se existe um escalar k tal que \langle a,b\rangle = k\langle c,d\rangle. Equivalente: as razões \dfrac{a}{c} e \dfrac{b}{d} (quando definidas) são iguais, ou o determinante ad-bc é zero.
Aplicando ao nosso caso: queremos ver se \langle 4,8\rangle é múltiplo de \langle 1,2\rangle.
  • Pela razão: \dfrac{4}{1}=4 e \dfrac{8}{2}=4. As duas razões são iguais a 4, portanto existe k=4 com \langle 4,8\rangle=4\langle 1,2\rangle.
  • Conferindo com o determinante: 4\cdot 2-8\cdot 1=8-8=0, também indica paralelismo.

Passo 6

Conclusão e interpretação breve: o gradiente em (2,1) é \langle 4,8\rangle, que é exatamente 4 vezes \langle 1,2\rangle. Portanto eles são paralelos. Isso significa que a direção de máximo crescimento de f naquele ponto está na mesma direção do vetor dado.

Resposta

Sim. \nabla f(2,1)=\langle 4,8\rangle = 4\langle 1,2\rangle.

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