- Verifique se o gradiente de
no ponto
é paralelo ao vetor
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Função:
. - Ponto onde avaliar o gradiente:
. - Vetor com o qual verificar paralelismo:
.
O pedido é: verificar se o gradiente de
no ponto
é paralelo ao vetor
.
Passo 2
O que é o gradiente e como calculamos: o gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Em símbolos,
Aqui
significa a derivada de
em relação a
mantendo
fixa, e
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixa. Isso dá um vetor que aponta na direção de máxima taxa de aumento de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
: a derivada de em relação a é ; o termo é tratado como constante em e sua derivada é . Logo
- Derivada parcial em relação a
: a derivada de em relação a é ; o termo é constante em e sua derivada é . Logo
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
:
Passo 5
Critério de paralelismo em
: dois vetores
e
são paralelos se existe um escalar
tal que
. Equivalente: as razões
e
(quando definidas) são iguais, ou o determinante
é zero.
Aplicando ao nosso caso: queremos ver se
é múltiplo de
.
- Pela razão:
e . As duas razões são iguais a , portanto existe com . - Conferindo com o determinante:
, também indica paralelismo.
Passo 6
Conclusão e interpretação breve: o gradiente em
é
, que é exatamente
vezes
. Portanto eles são paralelos. Isso significa que a direção de máximo crescimento de
naquele ponto está na mesma direção do vetor dado.
Resposta
Sim.
.