1. Dada f(x, y)=x^{2} e^{y}, encontre todos os pontos onde \nabla f é o vetor nulo.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}e^{y} e pede: encontrar todos os pontos (x,y) onde o gradiente \nabla f é o vetor nulo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}e^{y}.
  • A busca é por todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} tais que \nabla f(x,y)=(0,0).
  • O vetor nulo em \mathbb{R}^{2} é (0,0).

Passo 2

Lembrando o que é o gradiente: o gradiente de uma função real de duas variáveis f(x,y) é o vetor dos derivadas parciais,
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr),
onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e f_y é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). Vou calcular essas derivadas para a função dada.

Passo 3

Calcular f_x(x,y): tratar y como constante e derivar em relação a x. A parte em x é x^{2}, cuja derivada é 2x. O fator e^{y} é constante diante de x, então
f_x(x,y)=2x\,e^{y}.
Explicando: o produto x^{2}\cdot e^{y} se deriva em relação a x como (d/dx)x^{2}\cdot e^{y}=2x\cdot e^{y}.

Passo 4

Calcular f_y(x,y): tratar x como constante e derivar em relação a y. A parte em y é e^{y}, cuja derivada é e^{y}. O fator x^{2} é constante diante de y, então
f_y(x,y)=x^{2}\,e^{y}.
Explicando: derivando x^{2}\cdot e^{y} em relação a y x^{2}\cdot (d/dy)e^{y}=x^{2}e^{y}.

Passo 5

Agora impomos que \nabla f(x,y)=(0,0)\), isto é o sistema \[\begin{cases} 2x\,e^{y}=0,\\[4pt] x^{2}\,e^{y}=0. \end{cases}
Observação importante: para todo y\in\mathbb{R}\] vale \(e^{y}>0, ou seja, e^{y} nunca é zero. Assim podemos dividir ou simplesmente concluir que os fatores que podem anular cada equação pertencem a x ou x^{2}. Da primeira equação segue 2x\,e^{y}=0\Rightarrow x=0. Da segunda segue x^{2}\,e^{y}=0\Rightarrow x^{2}=0\Rightarrow x=0. Ambas são satisfeitas se, e somente se, x=0; não há restrição sobre y. Portanto todos os pontos com x=0 tornam o gradiente nulo.]

Passo 6

Interpretação final: o conjunto de pontos onde \nabla f é nulo é a reta vertical onde x=0, isto é todos os pares (0,y) com y\in\mathbb{R}. (Não é apenas um ponto isolado, é uma linha inteira.)

Resposta

\{(0,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\in\mathbb{R}\}

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