- Dada
, encontre todos os pontos onde
é o vetor nulo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar todos os pontos
onde o gradiente
é o vetor nulo.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A busca é por todos os pontos
tais que . - O vetor nulo em
é .
Passo 2
Lembrando o que é o gradiente: o gradiente de uma função real de duas variáveis
é o vetor dos derivadas parciais,
onde
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante). Vou calcular essas derivadas para a função dada.
Passo 3
Calcular
: tratar
como constante e derivar em relação a
. A parte em
é
, cuja derivada é
. O fator
é constante diante de
, então
Explicando: o produto
se deriva em relação a
como
.
Passo 4
Calcular
: tratar
como constante e derivar em relação a
. A parte em
é
, cuja derivada é
. O fator
é constante diante de
, então
Explicando: derivando
em relação a
dá
.
Passo 5
Agora impomos que
Observação importante: para todo
, ou seja,
nunca é zero. Assim podemos dividir ou simplesmente concluir que os fatores que podem anular cada equação pertencem a
ou
. Da primeira equação segue
. Da segunda segue
. Ambas são satisfeitas se, e somente se,
; não há restrição sobre
. Portanto todos os pontos com
tornam o gradiente nulo.]
Passo 6
Interpretação final: o conjunto de pontos onde
é nulo é a reta vertical onde
, isto é todos os pares
com
. (Não é apenas um ponto isolado, é uma linha inteira.)