1. Encontre os pontos sobre o elipsoide x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 onde o plano tangente é paralelo ao plano x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
e pede os pontos dessa superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano
x+y+z=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{(i) A superfície é a esfera unitária }S:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.íéá
\text{(ii) O plano dado tem vetor normal }(1,1,1).
O que se pede: encontrar todos os pontos P=(x_0,y_0,z_0) sobre S tais que o plano tangente a S em P seja paralelo ao plano x+y+z=1.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para uma superfície dada como nível de uma função
F(x,y,z)=\text{constante},
o vetor gradiente \nabla F(x,y,z) é um vetor perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Assim, o plano tangente à superfície em um ponto tem normal igual a \nabla F naquele ponto. Aqui podemos tomar
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1,
de modo que a superfície é \{F=0\}. Calculando o gradiente:
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)=(2x,2y,2z).
Interpretação simples: \nabla F(x,y,z)=2(x,y,z) aponta na direção radial da esfera e é, portanto, normal ao plano tangente em cada ponto.

Passo 3

Condição para paralelismo (explicação): dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (um é múltiplo escalar do outro). O plano dado tem normal (1,1,1). Logo, para que o plano tangente em P=(x_0,y_0,z_0) seja paralelo ao plano x+y+z=1 precisamos que
\nabla F(x_0,y_0,z_0)=\lambda(1,1,1)
para algum \lambda\in\mathbb{R}. Substituindo \nabla F=2(x_0,y_0,z_0) obtém-se
2(x_0,y_0,z_0)=\lambda(1,1,1).
Isto implica que as coordenadas de P são todas iguais, pois (x_0,y_0,z_0) é paralelo a (1,1,1). Portanto podemos escrever
x_0=y_0=z_0=t
para algum t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Usar a condição de pertencimento à esfera para achar t. Substituindo x_0=y_0=z_0=t na equação x_0^{2}+y_0^{2}+z_0^{2}=1 temos
3t^{2}=1.
Daí
t^{2}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad t=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Portanto os pontos candidatos são
P_{+}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \quad\text{e}\quad P_{-}=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 5

Verificação (breve): o gradiente em P_{+} é \nabla F(P_{+})=2\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right), que é de fato um múltiplo de (1,1,1). O mesmo vale para P_{-}. Assim os planos tangentes nesses pontos têm normal paralelo a (1,1,1) e portanto são paralelos ao plano x+y+z=1.

Resposta

\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)
\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)

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