- Encontre os pontos sobre o elipsoide
onde o plano tangente é paralelo ao plano
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede os pontos dessa superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: encontrar todos os pontos
sobre
tais que o plano tangente a
em
seja paralelo ao plano
.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): para uma superfície dada como nível de uma função
o vetor gradiente
é um vetor perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Assim, o plano tangente à superfície em um ponto tem normal igual a
naquele ponto. Aqui podemos tomar
de modo que a superfície é
. Calculando o gradiente:
Interpretação simples:
aponta na direção radial da esfera e é, portanto, normal ao plano tangente em cada ponto.
Passo 3
Condição para paralelismo (explicação): dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos (um é múltiplo escalar do outro). O plano dado tem normal
. Logo, para que o plano tangente em
seja paralelo ao plano
precisamos que
para algum
. Substituindo
obtém-se
Isto implica que as coordenadas de
são todas iguais, pois
é paralelo a
. Portanto podemos escrever
para algum
.
Passo 4
Usar a condição de pertencimento à esfera para achar
. Substituindo
na equação
temos
Daí
Portanto os pontos candidatos são
Passo 5
Verificação (breve): o gradiente em
é
, que é de fato um múltiplo de
. O mesmo vale para
. Assim os planos tangentes nesses pontos têm normal paralelo a
e portanto são paralelos ao plano
.