Verifique se H é subgrupo de G quando:
G=\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) e H=\{ \pm 1, \pm i\}.

Passo 1

O enunciado fornece o grupo G=\left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right), que representa o grupo multiplicativo dos números complexos não nulos, e o conjunto H=\{\pm 1,\pm i\}. O problema pede para verificar se H é um subgrupo de G.

Passo 2

Para verificar que um subconjunto H de um grupo G é um subgrupo, é necessário demonstrar que:
  1. H não é vazio (e contém a identidade de G);
  2. H é fechado sob a operação do grupo (ou seja, se a,b\in H, então a\cdot b\in H);
  3. Todo elemento de H possui seu inverso em H.
A associatividade é herdada de G.

Passo 3

A identidade do grupo \left(\mathbb{C}^{*},\cdot\right) é 1, e como 1\in H, H não é vazio e contém a identidade.

Passo 4

Os elementos de H podem ser expressos como potências de i da seguinte forma:
1=i^{0},\quad i=i^{1},\quad -1=i^{2},\quad -i=i^{3}.
Cada elemento de H é uma potência inteira de i com expoente no conjunto \{0,1,2,3\}.

Passo 5

Para verificar o fechamento sob multiplicação, considere i^{k},i^{\ell}\in H com k,\ell\in\{0,1,2,3\}. Então:
i^{k}\cdot i^{\ell}=i^{k+\ell}.
Como os expoentes são considerados módulo 4 (devido a i^{4}=1), o expoente k+\ell mod 4 pertence a \{0,1,2,3\}, o que implica que i^{k+\ell}\in H. Portanto, a multiplicação de quaisquer dois elementos de H permanece em H, demonstrando que H é fechado.
Exemplos:
i\cdot i=i^{2}=-1\in H;
i\cdot(-i)=i\cdot i^{3}=i^{4}=1\in H.

Passo 6

Para verificar o fechamento em relação a inversos, considere i^{k}\in H. Seu inverso multiplicativo é i^{-k}=i^{4-k} (considerando expoentes módulo 4). Como 4-k\in\{0,1,2,3\} sempre, segue que (i^{k})^{-1}\in H.
Verificando caso a caso:
1^{-1}=1,
i^{-1}=-i\in H,
(-1)^{-1}=-1\in H, etc.
Logo, todos os inversos estão em H.

Passo 7

Conclusão: H contém a identidade, é fechado sob a operação e contém os inversos de todos os seus elementos. Portanto, H é um subgrupo de G. H é o grupo das 4-ésimas raízes da unidade, tem ordem 4 e é cíclico, gerado por i.

Resposta

Sim, H é subgrupo de G.

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