Verifique se
é subgrupo de
quando:
e
.
Passo 1
O enunciado fornece o grupo
, que representa o grupo multiplicativo dos números complexos não nulos, e o conjunto
. O problema pede para verificar se
é um subgrupo de
.
Passo 2
Para verificar que um subconjunto
de um grupo
é um subgrupo, é necessário demonstrar que:
-
não é vazio (e contém a identidade de ); -
é fechado sob a operação do grupo (ou seja, se , então ); - Todo elemento de
possui seu inverso em .
A associatividade é herdada de
.
Passo 3
A identidade do grupo
é
, e como
,
não é vazio e contém a identidade.
Passo 4
Os elementos de
podem ser expressos como potências de
da seguinte forma:
Cada elemento de
é uma potência inteira de
com expoente no conjunto
.
Passo 5
Para verificar o fechamento sob multiplicação, considere
com
. Então:
Como os expoentes são considerados módulo
(devido a
), o expoente
mod
pertence a
, o que implica que
. Portanto, a multiplicação de quaisquer dois elementos de
permanece em
, demonstrando que
é fechado.
Exemplos:
;
.
Passo 6
Para verificar o fechamento em relação a inversos, considere
. Seu inverso multiplicativo é
(considerando expoentes módulo
). Como
sempre, segue que
.
Verificando caso a caso:
,
,
, etc.
Logo, todos os inversos estão em .
Logo, todos os inversos estão em
Passo 7
Conclusão:
contém a identidade, é fechado sob a operação e contém os inversos de todos os seus elementos. Portanto,
é um subgrupo de
.
é o grupo das 4-ésimas raízes da unidade, tem ordem
e é cíclico, gerado por
.
Resposta
Sim,
é subgrupo de
.