Determine todos os geradores do grupo \left(\mathbb{Z}_{9},+\right).

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os geradores do grupo \left(\mathbb{Z}_{9},+\right).
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • O conjunto \mathbb{Z}_{9} tem os elementos \overline{0},\overline{1},\overline{2},\dots,\overline{8}, sendo \overline{k} a classe de k módulo 9.
  • A operação do grupo é a soma módulo 9.
  • Queremos todos os elementos g\in\mathbb{Z}_{9} tais que o subgrupo gerado por g seja todo \mathbb{Z}_{9}; em outras palavras, queremos todos g com ordem igual a 9.

Passo 2

Entendendo o que é “ordem” e “gerador” (passo-a-passo didático).
  • Definição: a ordem de um elemento g no grupo aditivo \mathbb{Z}_{9} é o menor inteiro positivo m tal que m\cdot g=\overline{0}, onde m\cdot g significa somar g consigo mesmo m vezes.
  • Um elemento g é gerador de \mathbb{Z}_{9} se e somente se sua ordem é 9 (pois \mathbb{Z}_{9} tem 9 elementos).
  • Observação prática: para \overline{k}\in\mathbb{Z}_{9} temos m\cdot\overline{k}=\overline{m k} (multiplicação inteira seguida de redução módulo 9). Então procurar o menor m>0 com \overline{m k}=\overline{0} equivale a achar o menor m com 9 dividindo m k.

Passo 3

Fórmula útil e sua explicação (por que funciona).
  • Seja n um inteiro positivo e considere \mathbb{Z}_{n}. Para \overline{k}\in\mathbb{Z}_{n}, coloque d=\gcd(n,k).
  • Queremos o menor m>0 tal que n divide m k. Escrevendo n=d\cdot n' e k=d\cdot k' com \gcd(n',k')=1, a condição n\mid m k vira d n' \mid m d k', isto é n' \mid m k'.
  • Como \gcd(n',k')=1, a menor m tal que n'\mid m k' é m=n'. Logo a ordem de \overline{k} é n'=\dfrac{n}{d}=\dfrac{n}{\gcd(n,k)}.
  • Conclusão prática: a ordem de \overline{k} em \mathbb{Z}_{n} é
\text{ord}(\overline{k})=\frac{n}{\gcd(n,k)}.
  • Consequência imediata: \overline{k} é gerador (tem ordem n) se e somente se \gcd(n,k)=1.

Passo 4

Aplicando ao caso específico n=9.
  • Pela fórmula, para \overline{k}\in\mathbb{Z}_{9} vale
\text{ord}(\overline{k})=\frac{9}{\gcd(9,k)}.
  • Para que \text{ord}(\overline{k})=9 precisamos de \gcd(9,k)=1.
  • Portanto os geradores são exatamente as classes \overline{k} com k entre 0 e 8 tais que \gcd(9,k)=1.

Passo 5

Listando explicitamente e checando alguns exemplos.
  • Os inteiros k\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} com \gcd(9,k)=1 são k=1,2,4,5,7,8.
  • Assim os candidatos são \overline{1},\overline{2},\overline{4},\overline{5},\overline{7},\overline{8}.
  • Checagem rápida (exemplos):
    • Para \overline{2}: os múltiplos m\cdot\overline{2}=\overline{2},\overline{4},\overline{6},\overline{8},\overline{1},\overline{3},\overline{5},\overline{7},\overline{0} mostram que em 9 passos volta ao zero e percorre todos os elementos — logo \overline{2} gera \mathbb{Z}_{9}.
    • Para \overline{3} (não coprimo): \gcd(9,3)=3 e \text{ord}(\overline{3})=9/3=3, seus múltiplos são apenas \overline{3},\overline{6},\overline{0}, logo não é gerador.
  • Observação final: existem \varphi(9)=6 geradores, onde \varphi é a função totiente de Euler; isso coincide com a lista acima com 6 elementos.

Resposta

\{\overline{1},\overline{2},\overline{4},\overline{5},\overline{7},\overline{8}\}

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