Sejam
e
elementos do grupo
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois complexos (elementos de
):
O que se pede é calcular
e
, isto é, as ordens de
e
no grupo multiplicativo
.
Passo 2
Definição útil e ferramenta: a ordem
de um elemento
é o menor inteiro positivo
tal que
(se existir). Para números complexos na forma trigonométrica vale a fórmula de Euler / de Moivre:
e, em particular,
Assim, para
busca-se o menor
tal que
para algum inteiro
, isto é, tal que
seja múltiplo de
.
Passo 3
Calcular
. Primeiro avaliar os senos e cossenos:
Logo
Usando a forma exponencial,
Agora verificar potências de
:
Em particular,
Testar expoentes menores:
Portanto o menor
com
é
. Conclusão:
.
Passo 4
Calcular
. Escrever em forma exponencial:
Calcular
:
Mostrar que não existe
com
tal que
. Se
então
para algum inteiro
, o que implica
Como
é inteiro, isso só é possível se
for múltiplo de
. Para
isso não ocorre. Portanto o menor
com
é
. Conclusão:
.
Passo 5
Observação geral (fórmula útil): para um elemento da forma
a ordem é
. No caso de
tem-se
,
e
, consistente com o cálculo acima.