Sejam \alpha=\cos \frac{2 \pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{4} e \beta=\cos \frac{2 \pi}{5}+i \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{5} elementos do grupo \left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right). Calcule o(\alpha) e o(\beta).

Passo 1

O enunciado dá dois complexos (elementos de \left(\mathbb{C}^*,\cdot\right)):
\alpha=\cos\frac{2\pi}{4}+i\sin\frac{2\pi}{4}, \qquad \beta=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}.
O que se pede é calcular o(\alpha) e o(\beta), isto é, as ordens de \alpha e \beta no grupo multiplicativo \mathbb{C}^*.

Passo 2

Definição útil e ferramenta: a ordem o(z) de um elemento z\in\mathbb{C}^* é o menor inteiro positivo n tal que z^n=1 (se existir). Para números complexos na forma trigonométrica vale a fórmula de Euler / de Moivre:
\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta},
e, em particular,
\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{i n\theta}.
Assim, para z=e^{i\theta} busca-se o menor n>0 tal que e^{i n\theta}=1=e^{i 2\pi k} para algum inteiro k, isto é, tal que n\theta seja múltiplo de 2\pi.

Passo 3

Calcular \alpha. Primeiro avaliar os senos e cossenos:
\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1.
Logo
\alpha=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=0+i\cdot1=i.
Usando a forma exponencial,
\alpha=e^{i\pi/2}.
Agora verificar potências de \alpha:
\alpha^n=e^{i n\pi/2}.
Em particular,
\alpha^4=e^{i 4\cdot\pi/2}=e^{i 2\pi}=1.
Testar expoentes menores:
\alpha^1=i\neq1,\qquad \alpha^2=i^2=-1\neq1,\qquad \alpha^3=i^3=-i\neq1.
Portanto o menor n>0 com \alpha^n=1 é n=4. Conclusão: o(\alpha)=4.

Passo 4

Calcular \beta. Escrever em forma exponencial:
\beta=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}=e^{i 2\pi/5}.
Calcular \beta^5:
\beta^5=\left(e^{i 2\pi/5}\right)^5=e^{i 2\pi}=1.
Mostrar que não existe m com 1\le m<5 tal que \beta^m=1. Se \beta^m=1 então
e^{i 2\pi m/5}=1=e^{i 2\pi k}
para algum inteiro k, o que implica
\frac{2\pi m}{5}=2\pi k \quad\Rightarrow\quad \frac{m}{5}=k.
Como k é inteiro, isso só é possível se m for múltiplo de 5. Para 1\le m<5 isso não ocorre. Portanto o menor m>0 com \beta^m=1 é m=5. Conclusão: o(\beta)=5.

Passo 5

Observação geral (fórmula útil): para um elemento da forma e^{i 2\pi k/n} a ordem é \dfrac{n}{\gcd(k,n)}. No caso de \beta=e^{i 2\pi/5} tem-se k=1, n=5 e o(\beta)=5/\gcd(1,5)=5, consistente com o cálculo acima.

Resposta

o(\alpha)=4
o(\beta)=5

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