Verifique se (I,+,. ) e um ideal do anel (A,+,. ) em cada um dos seguintes casos:
I=2 Z, A=Z com as operações de adição usual de inteiros e multiplicação definida por x y=0, para quaisquer x, y in Z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificar se é um ideal do anel com as operações de adição usual e multiplicação definida por para quaisquer . Vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre ideais em anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel , um subconjunto é chamado de ideal se:
  1. é um subanel de , ou seja:
    • é não vazio.
    • Para todo , .
    • Para todo e , .

Passo 3

Vamos verificar se satisfaz essas condições no anel com multiplicação definida por .

Passo 4

1. 2a + 2b = 2(a + b) é não vazio:
Claro que sim, por exemplo, .
2. Fechamento sob adição:
Se pegarmos dois elementos quaisquer de , digamos e , onde , então:
Como é um inteiro, também está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Absorção pela multiplicação do anel:
Precisamos verificar se para todo e , temos .
No nosso caso, a multiplicação é definida como . E está em porque .
Então, independentemente dos valores de e , .

Passo 6

Como todas as condições para ser um ideal são satisfeitas, podemos concluir que é realmente um ideal do anel com as operações dadas.

Resposta

Sim, é um ideal do anel com a multiplicação definida por .

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