Verifique se
.
.
com as operações de adição usual de inteiros e multiplicação definida por
, para quaisquer
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificar se
é um ideal do anel
com as operações de adição usual e multiplicação definida por
para quaisquer
. Vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre ideais em anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel
, um subconjunto
é chamado de ideal se:
-
é um subanel de , ou seja: -
é não vazio. - Para todo
, . - Para todo
e , .
-
Passo 3
Vamos verificar se
satisfaz essas condições no anel
com multiplicação definida por
.
Passo 4
1.
é não vazio:
Claro que sim, por exemplo,
.
2. Fechamento sob adição:
Se pegarmos dois elementos quaisquer de
, digamos
e
, onde
, então:
Como
é um inteiro,
também está em
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Absorção pela multiplicação do anel:
Precisamos verificar se para todo
e
, temos
.
No nosso caso, a multiplicação é definida como
. E
está em
porque
.
Então, independentemente dos valores de
e
,
.
Passo 6
Como todas as condições para
ser um ideal são satisfeitas, podemos concluir que
é realmente um ideal do anel
com as operações dadas.
Resposta
Sim,
é um ideal do anel
com a multiplicação definida por
.