Descreva todos os ideais de Z6 e todos os ideais de Z8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir todos os ideais de Z6 e Z8. Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente de Teoria dos Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ideais em um anel como Zn e como identificá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação, que seguem certas propriedades. No caso de Zn, estamos falando dos números inteiros módulo n, ou seja, os restos da divisão por n.

Passo 3

Agora, ideais são subconjuntos especiais dentro de um anel que têm algumas propriedades específicas. Em simples palavras, um ideal é um conjunto de números que, além de ser fechado sob adição, também absorve a multiplicação por qualquer elemento do anel.

Passo 4

No caso de Zn, todos os ideais são ideais principais, o que significa que cada ideal é gerado por um único elemento. Especificamente, os ideais de Zn são da forma (d), onde d é um divisor de n. Isso porque, em Zn, gerar um ideal com d inclui todos os múltiplos de d dentro de Zn.

Passo 5

Vamos aplicar isso para Z6. Primeiro, encontramos todos os divisores de 6, que são 1, 2, 3 e 6. Assim, os ideais de Z6 serão:
  • (0): que contém apenas o elemento 0.
  • (2): que contém 0, 2, 4.
  • (3): que contém 0, 3.
  • (1): que, na verdade, é todo o conjunto Z6.

Passo 6

Fazendo o mesmo para Z8, encontramos que os divisores de 8 são 1, 2, 4 e 8. Portanto, os ideais de Z8 serão:
  • (0): que contém apenas o elemento 0.
  • (2): que contém 0, 2, 4, 6.
  • (4): que contém 0, 4.
  • (1): que é todo o conjunto Z8.

Resposta

Os ideais de Z6 são (0), (2), (3) e (1). Já os ideais de Z8 são (0), (2), (4) e (1).

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