Descreva todos os ideais de
e todos os ideais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir todos os ideais de
e
. Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente de Teoria dos Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ideais em um anel como
e como identificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que possui duas operações: adição e multiplicação, que seguem certas propriedades. No caso de
, estamos falando dos números inteiros módulo
, ou seja, os restos da divisão por
.
Passo 3
Agora, ideais são subconjuntos especiais dentro de um anel que têm algumas propriedades específicas. Em simples palavras, um ideal é um conjunto de números que, além de ser fechado sob adição, também absorve a multiplicação por qualquer elemento do anel.
Passo 4
No caso de
, todos os ideais são ideais principais, o que significa que cada ideal é gerado por um único elemento. Especificamente, os ideais de
são da forma
, onde
é um divisor de
. Isso porque, em
, gerar um ideal com
inclui todos os múltiplos de
dentro de
.
Passo 5
Vamos aplicar isso para
. Primeiro, encontramos todos os divisores de
, que são
,
,
e
. Assim, os ideais de
serão:
-
: que contém apenas o elemento . -
: que contém . -
: que contém . -
: que, na verdade, é todo o conjunto .
Passo 6
Fazendo o mesmo para
, encontramos que os divisores de
são
,
,
e
. Portanto, os ideais de
serão:
-
: que contém apenas o elemento . -
: que contém . -
: que contém . -
: que é todo o conjunto .
Resposta
Os ideais de
são
,
,
e
. Já os ideais de
são
,
,
e
.