Verifique se
.
.
Passo 1
Vamos verificar se
é um ideal do anel
. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de Álgebra, especificamente com anéis e ideais. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um ideal dentro de um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um anel é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição (
) e multiplicação (
), que satisfazem certas propriedades. No nosso caso,
é o conjunto dos números racionais com as operações de adição e multiplicação usuais.
Passo 3
Um ideal
de um anel
é um subconjunto de
que é um subanel de
e, além disso, para todo
e
, o produto
também está em
. Isso garante que o ideal seja “absorvente” em relação à multiplicação pelo anel inteiro.
Passo 4
Vamos verificar se
satisfaz essas condições em
:
- Subgrupo aditivo:
é um subgrupo de sob adição, pois se você adicionar ou subtrair dois múltiplos de 3, ainda terá um múltiplo de 3. - Multiplicação pelo anel: Para todo
e (onde é inteiro), o produto . Aqui, é racional, mas será um múltiplo de 3 apenas se for inteiro.
Passo 5
No entanto, em
, existem racionais que não são inteiros. Por exemplo, se escolhermos
e
, temos
, que não está em
porque não é um inteiro múltiplo de 3.
Passo 6
Isso mostra que nem todo produto
com
e
está em
. Portanto,
não satisfaz a condição necessária para ser um ideal em
.
Resposta
Não,
não é um ideal do anel
.