Verifique se
é ideal à direita de
.
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto
é um ideal à direita no conjunto das matrizes
com entradas reais, denotado por
. Para isso, precisamos entender o que é um ideal à direita e verificar as propriedades que definem esse conceito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal à direita. Em um anel, um subconjunto
é chamado de ideal à direita se:
-
é um subgrupo aditivo do anel. - Para todo elemento
e para toda matriz , o produto também está em .
Vamos verificar essas duas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
1.
é um subgrupo aditivo:
Para
ser um subgrupo aditivo, precisamos verificar se:
-
O elemento zero está em
. -
Se
, então . -
Se
, então . -
O elemento zero é
, que está em (com ). -
Se
e , então , que também está em . -
Se
, então , que está em .
Portanto,
é um subgrupo aditivo.
2. Fechamento à direita:
Precisamos verificar se para qualquer
e
, o produto
está em
.
Seja
e
.
Calculando
:
Para
estar em
, a posição (2,2) deve ser zero:
Isso precisa ser verdadeiro para todo
, mas podemos escolher
onde
e
, fazendo com que
. Portanto,
nem sempre está em
.
Resposta
O conjunto
não é um ideal à direita de
, pois não satisfaz a propriedade de fechamento à direita.