Verifique a identidade hiperbólica dada.
(c) |\operatorname{senh} z|^{2}=\operatorname{senh}^{2} x+\operatorname{sen}^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade hiperbólica para um número complexo z, dado por
z = x + i y,
onde x e y são reais, e mostrar que
\lvert \operatorname{sinh} z\rvert^{2} \;=\;\operatorname{sinh}^{2}x \;+\;\sin^{2}y.
Para isso vamos usar a definição de \operatorname{sinh} em argumento complexo e as fórmulas de produto e soma de funções hiperbólicas e trigonométricas.

Passo 2

Começamos escrevendo a definição de \operatorname{sinh} para z = x + i y:
\operatorname{sinh} z \;=\;\operatorname{sinh}(x + i y) \;=\;\frac{e^{\,x + i y} - e^{-\,x - i y}}{2}.
Utilizando a decomposição e^{a + ib}=e^{a}(\cos b + i\sin b), obtemos
\operatorname{sinh}(x + i y) =\frac{e^{x}(\cos y + i\sin y)\;-\;e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2}.

Passo 3

Para isolar parte real e imaginária, agrupamos os termos:
\operatorname{sinh}(x + i y) = \underbrace{\frac{e^{x}\cos y - e^{-x}\cos y}{2}}_{=\operatorname{sinh} x\cos y} \;+\; i\,\underbrace{\frac{e^{x}\sin y + e^{-x}\sin y}{2}}_{=\operatorname{cosh} x\sin y}.
Logo
\operatorname{sinh}(x + i y) = \operatorname{sinh} x\cos y \;+\; i\,\operatorname{cosh} x\sin y.

Passo 4

O quadrado do módulo de um número complexo u + i v é u^{2}+v^{2}. Aqui,
u = \operatorname{sinh} x\cos y, \quad v = \operatorname{cosh} x\sin y,
então
\lvert\operatorname{sinh} z\rvert^{2} = (\operatorname{sinh} x\cos y)^{2} + (\operatorname{cosh} x\sin y)^{2} = \operatorname{sinh}^{2}x\,\cos^{2}y \;+\;\operatorname{cosh}^{2}x\,\sin^{2}y.

Passo 5

Para simplificar usamos duas identidades conhecidas:
\cos^{2}y + \sin^{2}y = 1, \qquad \operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x = 1.
Podemos escrever
\operatorname{sinh}^{2}x\,\cos^{2}y + \operatorname{cosh}^{2}x\,\sin^{2}y = \operatorname{sinh}^{2}x(\cos^{2}y+\sin^{2}y) + \sin^{2}y(\operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x),
ou seja
\lvert\operatorname{sinh} z\rvert^{2} = \operatorname{sinh}^{2}x \cdot 1 \;+\; \sin^{2}y \cdot 1 = \operatorname{sinh}^{2}x + \sin^{2}y.

Resposta

A identidade fica verificada:
\lvert \operatorname{sinh} z\rvert^{2} = \operatorname{sinh}^{2}x + \sin^{2}y.

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