Verifique a identidade hiperbólica dada.
(d) \operatorname{Im}(\operatorname{cosh} z)=\operatorname{senh} x \operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar que, para z = x + i y, vale
\Im(\operatorname{cosh} z) = \operatorname{sinh} x \,\sin y.
O conteúdo aqui é o uso da definição de cosseno hiperbólico em argumento complexo e a separação em parte real e imaginária.

Passo 2

Usamos a definição
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}.
Para z = x + i y, temos
e^{x + i y} = e^{x}\bigl(\cos y + i\,\sin y\bigr),
e^{-x - i y} = e^{-x}\bigl(\cos y - i\,\sin y\bigr).

Passo 3

Substituindo em \operatorname{cosh} z:
\operatorname{cosh}(x + i y) = \frac{e^{x}(\cos y + i\sin y) + e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2}.
Agrupando termo real e imaginário:
\operatorname{cosh}(x + i y) = \frac{e^{x}\cos y + e^{-x}\cos y}{2} + i\,\frac{e^{x}\sin y - e^{-x}\sin y}{2}.

Passo 4

O segundo termo é a parte imaginária de \operatorname{cosh}(x+iy):
\Im(\operatorname{cosh}(x + i y)) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\,\sin y.
Como \operatorname{sinh} x = \bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)/2, concluímos
\Im(\operatorname{cosh} z) = \operatorname{sinh} x \,\sin y.

Resposta

\Im(\operatorname{cosh} z) = \operatorname{sinh} x \,\sin y.

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