Para isso vamos usar a definição de \operatorname{sinh} em argumento complexo e as fórmulas de produto e soma de funções hiperbólicas e trigonométricas.
Passo 2
Começamos escrevendo a definição de \operatorname{sinh} para z = x + i y:
\operatorname{sinh} z \;=\;\operatorname{sinh}(x + i y) \;=\;\frac{e^{\,x + i y} - e^{-\,x - i y}}{2}.
Utilizando a decomposição e^{a + ib}=e^{a}(\cos b + i\sin b), obtemos
\operatorname{sinh}(x + i y) =\frac{e^{x}(\cos y + i\sin y)\;-\;e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2}.
Passo 3
Para isolar parte real e imaginária, agrupamos os termos:
\operatorname{sinh}(x + i y) = \underbrace{\frac{e^{x}\cos y - e^{-x}\cos y}{2}}_{=\operatorname{sinh} x\cos y} \;+\; i\,\underbrace{\frac{e^{x}\sin y + e^{-x}\sin y}{2}}_{=\operatorname{cosh} x\sin y}.
Logo
\operatorname{sinh}(x + i y) = \operatorname{sinh} x\cos y \;+\; i\,\operatorname{cosh} x\sin y.
Passo 4
O quadrado do módulo de um número complexo u + i v é u^{2}+v^{2}. Aqui,
u = \operatorname{sinh} x\cos y, \quad v = \operatorname{cosh} x\sin y,