Verifique se a função é contínua no ponto dado.
(b) f(z)=\frac{z^{3}}{z^{3}+3 z^{2}+z} ; z_{0}=i

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(z)=\frac{z^{3}}{z^{3}+3z^{2}+z}
é contínua em z_{0}=i. Como teoria, sabemos que toda função racional de variável complexa é contínua em todos os pontos em que o denominador não se anula.

Passo 2

Verificamos se o denominador se anula em z=i. Calculamos
i^{3}+3i^{2}+i.
Como i^{2}=-1 e i^{3}=i\cdot i^{2}=i\cdot(-1)=-i, temos
i^{3}+3i^{2}+i = -i + 3(-1) + i = -i -3 + i = -3 \neq 0.

Passo 3

Como o denominador em z=i é -3, que é diferente de zero, a função está bem definida em z=i e, por ser racional, é contínua nesse ponto. Opcionalmente, podemos também calcular
f(i)=\frac{i^{3}}{-3}=\frac{-i}{-3}=\frac{i}{3}.

Resposta

A função é contínua em z_{0}=i.

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