Verifique as identidades trigonométricas:
\cos x \cdot \operatorname{cossec} x=\operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado pede que se verifique a identidade trigonométrica
\cos x \cdot \operatorname{cossec} x = \operatorname{cotg} x.
Informações dadas no enunciado:
  • Aparecem as funções \cos x, \operatorname{cossec} x e \operatorname{cotg} x.
  • A verificação deve mostrar que as duas expressões são iguais sempre que as funções estiverem definidas.

Passo 2

Primeiro vou recordar e explicar claramente as definições que precisamos (essas são identidades básicas, tipo “dicionário” das funções trigonométricas):
  • A função seno de x é escrita \sin x.
  • A cossecante de x (escrita aqui como \operatorname{cossec} x) é definida como o recíproco do seno:
\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\sin x}.
Expliquei isso: “recíproco” significa que se \sin x=a então \operatorname{cossec} x = 1/a. Isso só faz sentido quando \sin x\neq0 (pois não se pode dividir por zero).
  • A cotangente de x (escrita \operatorname{cotg} x) é definida como a razão entre cosseno e seno:
\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}.
Aqui também é necessário que \sin x\neq0.

Passo 3

Agora faço a manipulação algébrica passo a passo, substituindo a definição de \operatorname{cossec} x na expressão dada:
\cos x \cdot \operatorname{cossec} x
Substituindo \operatorname{cossec} x=\dfrac{1}{\sin x}, obtemos
\cos x \cdot \operatorname{cossec} x = \cos x \cdot \frac{1}{\sin x}.
Multiplicar por 1/\sin x é o mesmo que dividir por \sin x, então
\cos x \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x}.
Pela definição dada antes, \dfrac{\cos x}{\sin x} é exatamente \operatorname{cotg} x. Portanto chegamos a
\cos x \cdot \operatorname{cossec} x = \operatorname{cotg} x,
com a ressalva óbvia de que tudo isso só vale quando \sin x\neq0.

Passo 4

Para ficar mais concreto, veja um exemplo numérico rápido (isso ajuda a checar na prova sem mistério): tome x=\dfrac{\pi}{6}.
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.
  • Então \operatorname{cossec}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{1}{1/2}=2.
    Multiplicando:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\operatorname{cossec}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}.
E \operatorname{cotg}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}. Coincide, bom sinal.

Resposta

\cos x \cdot \operatorname{cossec} x = \operatorname{cotg} x \text{para }\sin x\neq0.

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