Verifique as identidades trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede que se verifique a identidade trigonométrica
.
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
- Aparecem as funções
, e . - A verificação deve mostrar que as duas expressões são iguais sempre que as funções estiverem definidas.
Passo 2
Primeiro vou recordar e explicar claramente as definições que precisamos (essas são identidades básicas, tipo “dicionário” das funções trigonométricas):
- A função seno de
é escrita . - A cossecante de
(escrita aqui como ) é definida como o recíproco do seno:
Expliquei isso: “recíproco” significa que se
então
. Isso só faz sentido quando
(pois não se pode dividir por zero).
- A cotangente de
(escrita ) é definida como a razão entre cosseno e seno:
Aqui também é necessário que
.
Passo 3
Agora faço a manipulação algébrica passo a passo, substituindo a definição de
na expressão dada:
Substituindo
, obtemos
Multiplicar por
é o mesmo que dividir por
, então
Pela definição dada antes,
é exatamente
. Portanto chegamos a
com a ressalva óbvia de que tudo isso só vale quando
.
Passo 4
Para ficar mais concreto, veja um exemplo numérico rápido (isso ajuda a checar na prova sem mistério): tome
.
-
. -
. - Então
.
Multiplicando:
E
. Coincide, bom sinal.